推論問題を教えてください。

質問

ある売り場で、普段は1個づつ売るリンゴ63個を袋詰めで売っていた。8個入りと7個入りで分けて売られていた。

(1)この売り場で買えないリンゴの個数は何通りあるか？答えは21通り。

21個端数がでるのはわかりますが、それが２１個でなく、21通りとなるところがわかりません。

(2)買うことができない個数で、最も大きい個数はいくつになるか？答えは41個。

これについては、さっぱりわからない。考え方から教えてください。

回答No.4

staratras

No.2です。少し補足させてください。

>41個の中には、7個入り8個入りの袋つくれますよね？
もちろん作れますが、どうしても「余り」が出てしまいます。

この問題文の表現は少しあいまいで、No.3の回答のような解釈の余地もあるとは思いますが、私は「普段1個ずつばら売りをしていたりんご63個を、7個入りか8個入りの袋売りだけで売っていた。(客の注文に応じて7個入りか8個入りの袋詰めにしてくれるイメージです）このりんご7個入りの袋と8個入りの袋だけを組み合わせて買う場合、買えないりんごの個数は63個までのなかで何通りあるか？そして買えない最大の個数は何個か？」というように解釈しました。ご質問で挙げられた「答え」に合致するのはこの題意です。

式で表せば、7個入りの袋をx袋、8個入りの袋をy袋買う場合を考えて
N＝7x+8y（x,yは負でない整数)という形式で表すことができない正の整数Nはいくつあるか、その中で最大のNはいくつか、ということになります。
(負でない整数というもってまわった言い方をするのは、x,yのどちらか一方が０であってもよいからです。)

この問題に対しては大きく分けて２つの解法があろうかと考えます。一つは整数論的なアプローチです。これは非常に強力で、ご質問のような具体的な数値の例だけでなく、もっと一般化してa,bを互いに素である正の整数、x,yを負でない整数とするとき、ax+byの形式で表せない正の整数の個数や、表せない最大の整数を求める問題も数論の入門書の最初の方の練習問題によく登場します。

ただし、ご質問に「推論問題」というタイトルがありましたので、就職試験などで実際に回答する場合を想定してそのような数論の知識を使う解法ではなく、もう一つの数学的（ある意味で算数的)な解法を考えました。

N=7x+8y について、特定のxをひとまず固定して（Xとする)yを0,1,2,3,…と増加させれば、Nは最初が7の倍数（7X）で以下８ずつ増加する数列（初項7Ｘで公差8の等差数列)になります。これはNo.２の図で７の倍数を頭に下に続く数列に相当します。…(１)

一方特定のyをひとまず固定して（Yとする)、xを0,1,2,3,…と増加させれば、Nは最初が８の倍数（8Y）で以下７ずつ増加する数列（初項8Ｙで公差7の等差数列)になります。これはNo.２の図で8の倍数を頭に斜め左下に続く数列に相当します。…(2)

xとyが負でない整数のとき、N=7x+8yの形式で表せる正の整数Nは上の(1)と(2)以外にはありませんので、
NはNo.2の図において、7,14,21,28,35,49という７から左斜め下に続く数列とその下方すべての整数は表せますが、それより上の1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,13,17,18,19,20,25,26,27,33,34,41の21個の整数は表せません。このうちの最大の数はN=41です。

回答No.3

Knotopolog

[考え方１]
63個のリンゴを，7個入りと，8個入りの袋詰めにすると，7個入りの袋が，1個と，8個入りの袋が，7個になります．これ以外に袋詰めの仕方はありません．

[考え方２]
7個入りの袋＝リンゴ，7個が入れてある．7個入りの袋は，1個．
8個入りの袋＝リンゴ，8個が入れてある．8個入りの袋は，7個．

買える個数：7, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,
　　　　　　　15, 23, 31, 39, 47, 55, 63.
買える個数：15通り．

買えない個数：上記以外の数（63以下）：1, 2, 3, 4, 5, 6, 9,
　　　　　　　　10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 22,
　　　　　　　　25, 26, 27, 28, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 37,
　　　　　　　　38, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 49, 50, 51, 52,
　　　　　　　　53, 54, 57, 58, 59, 60, 61, 62.

買えない個数：48通り．(63－15＝48)

買うことができない最大の個数は，62個（63個は買えるので，その下の個数）．

以上が，私の考え方です．

回答No.2

staratras

下の図で考えればわかり易いでしょう。

7個入りの袋だけを買う場合、７の倍数個買えます。(青い数字）
8個入りの袋だけを買う場合、8の倍数個買えます。(赤い数字）

７個入りを1袋、あとは8個入りを買う場合、７、１５、２３、…６３個買えます。（７の下の列すべて）
以下同様に、７、１４、２１、２８、３５、４２、４９の下の列はすべて買えます。

しかし７の倍数より上の列はどのように組み合わせても買えません。（黄色の背景に斜体字の部分）
この数字(組み合わせ）は21通りあり、その中で最大のものは４１です。

お礼

すみません、理解できません。

41個の中には、7個入り8個入りの袋つくれますよね？

回答No.1

Tacosan

そもそも問題を理解できていない.

リンゴ 13個, 買えますか?