問題がわかりません

質問

つぎの問題の解説がわかりません。

りんご６１個、なし８５個、みかん１２１個を何人かの子供に、同じ果物を同じ数ずつ分けたら、どの果物も同じ数だけ余りました。考えられる子供の人数を全てあげなさい。

解答：「２、３、４、６、１２人」

解説で子供の人数は８５－６１＝２４と、１２１－８５＝３６と、１２１－６１＝６０の公約数になる。とありますが、
なんでみかんの個数を２回もなしとりんごで引かれているのですか？
これではなしとみかんの個数しか存在しなくなってしまうと思いますが、これは一体どういうことでしょうか？あと念のためになぜそれぞれ引いてるのかも教えてください。
詳しくわかる方教えてください。

回答No.1

star-rigel · ベストアンサー

子供の人数をx、余りをyとします。
また、子供たちに分けたりんごの数をa、なしの数をb、みかんの数をcとします。

＜りんご＞
ax＋y＝61
y＝61－ax　(1)

＜なし＞
bx＋y＝85
y＝85－bx　(2)

＜みかん＞
cx＋y＝121
y＝121－cx　(3)

りんごとなしの関係を(1)と(2)であらわすと次のようになります。
61－ax＝85－bx
（b－a）x＝85－61
（b－a）x＝24

なしとみかん（(2)と(3)）、りんごとみかん（(1)と(3)）についても、同様に計算します。
（c－b）x＝36
（c－a）x＝60
（負の数にならないように、数が大きいみかんから引いているだけです。）

xは、24、36、60の公約数です。
公約数は、1、2、3、4、6、12となりますが、1は余りが生じませんので、1を除いた2、3、4、6、12が答えとなります。

勉強頑張ってくださいね。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

ORUKA1951

子供の人数をXとすると、配られたそれぞれの果物の数はXで割り切れないとなりません。
ここで、多いものから少ないものを引く
・ミカンの数から梨の数を引いたもの
・梨の数からリンゴの数を引いたもの
・ミカンの数からリンゴの数を引いたもの
　のすべてを見ると、あまった数はすべてに含まれていますから、出てきた数は配られた数の差にほかなりません。

　配られたミカンの数＋余った数＝ミカンの数
-)配られた なし の数＋余った数＝なしの数
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　＝配られたミカンの数－配られたなしの数

　配られたミカンの数＋余った数＝ミカンの数
-)配られたりんごの数＋余った数＝リンゴの数
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　＝配られたミカンの数－配られたリンゴの数

　配られた なし の数＋余った数＝なしの数
-)配られたりんごの数＋余った数＝リンゴの数
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　＝配られたなしの数－配られたリンゴの数

ここでの計算は、実際に配られたそれぞれの果物の数の差を求めているのです。
その数は、０を含む自然数でなければなりません。また、その差の比は配られた果物の全体との比でもあるのですから、その差の公約数を求めればよいのです。
　図を描いてみたら分かるかな

お礼

ありがとうございました。