内部にできる三角形の面積

質問

図のように点がありますが、
ＢＤ：ＤＣ＝s：1-s、
ＣＥ：ＥＡ＝t：1-t、
ＡＦ：ＦＢ＝u：1-u、
とします。
このとき内部にできる△ＰＱＲは△ＡＢＣの何倍になるのでしょうか。
(答)を知りたいです。

回答No.5

ramayana

ANo.3 で三角形PQR の面積を本来の２倍に計算していました。よって、正しくは

比 = (2stu-st-su-tu+s+t+u-1)^2/((st-t+1)(tu-u+1)(su-s+1))

となります。これは、ANo.4 さんと同じ答です。

お礼

みなさま、ありがとうございました。

回答No.4

yyssaa

＞メネラウスの定理により、
(AF/FB)*(BC/CD)*(DQ/QA)=1だから(DQ/QA)=(FB/AF)*(CD/BC)=(1-u)(1-s)/u
同様に(ER/RB)=(1-s)(1-t)/s、(FP/PC)=(1-t)(1-u)/t
△ABCの面積をSとすると、(以下、△及び□は全て面積を表すとして)
△CAD=(1-s)S、△ABE=(1-t)S、△ARE=△ABE*{ER/(ER+RB)}=△ABE*{1/(1+RB/ER)}
=△ABE*{1/{1+s/(1-s)(1-t)}={(1-s)(1-t)^2/(1-t+st)}S
□CERD=△CAD-△ARE=(1-s)S-{(1-s)(1-t)^2/(1-t+st)}S
={(1-s)(1-t+s)t/(1-t+st)}S
△ABE=(1-t)S、△BCF=(1-u)S、△BPF=△BCF*{FP/(FP+PC)}
=△BCF*{1/(1+PC/FP)}=△BCF*[1/{1+t/(1-t)(1-u)}]={(1-t)(1-u)^2/(1-u+tu)}S
□AFPE=△ABE-△BPF=(1-t)S-{(1-t)(1-u)^2/(1-u+tu)}S
={(1-t)(1-u+t)u/(1-u+tu)}S
△BCF=(1-u)S、△CQD=△CAD*{DQ/(DQ+QA)}=△CAD*{1/(1+QA/DQ)}
=△CAD*[1/{1+u/(1-u)(1-s)}]={(1-u)(1-s)^2/(1-s+us)}S
□BDQF=△BCF-△CQD=(1-u)S-{(1-u)(1-s)^2/(1-s+us)}S
={(1-u)(1-s+u)s/(1-s+us)}S
△PQR=△ABC-□CERD-□AFPE-□BDQF=S-{(1-s)(1-t+s)t/(1-t+st)}S
-{(1-t)(1-u+t)u/(1-u+tu)}S-{(1-u)(1-s+u)s/(1-s+us)}S
=[1-{(1-s)(1-t+s)t/(1-t+st)}-{(1-t)(1-u+t)u/(1-u+tu)}-{(1-u)(1-s+u)s/(1-s+us)}]S
よって、△ＰＱＲは△ＡＢＣの
[1-{(1-s)(1-t+s)t/(1-t+st)}-{(1-t)(1-u+t)u/(1-u+tu)}-{(1-u)(1-s+u)s/(1-s+us)}]倍。

回答No.3

ramayana

頂点の座標を A = (a,b), B = (0,0), C = (1,0) と置いて、直線 AD, BE, CF の方程式を求め、連立方程式を解いて P, Q, R の座標を求めて、三角形PQR　の面積を計算すると、

三角形PQR の面積= b(2stu-st-su-tu+s+t+u-1)^2/((st-t+1)(tu-u+1)(su-s+1))

となりました。三角形 ABC の面積が b/2 なので

比 = 2(2stu-st-su-tu+s+t+u-1)^2/((st-t+1)(tu-u+1)(su-s+1))

となります。計算間違いがあったら乞御容赦。

回答No.2

Tofu-Yo

△ABC=1として△PQRの面積を求めます。
メネラウスの定理より、
(AR/RD)(DB/BC)(CE/EA)=1
(AR/RD)(s/1)(t/(1-t))=1
∴AR:RD=1-t:st
∴△ABR=△ABD×((1-t)/(1-t+st))
=s(1-t)/(1-t+st)

同様に△BCP、△CAQを求めてこの3つの三角形を△ABCから引けば出ます。

1
-s(1-t)/(1-t+st)
-t(1-u)/(1-u+tu)
-u(1-s)/(1-s+us)

が答？これ通分する気しないな…

回答No.1

shuu_01

まず、始めに、僕はまだこの問題を解いていません

しかし、なんか解けそうな気がします

というのは、右図に思いっきり、ヒントが隠されているからです

いや、隠されているのではなく、丸出しです

左右の図を見ると、右図が直角三角形に変形されますが、
「A、F、E の高さが同じ」 ということは、
△ ABC、△FBC、△EBC の面積も同じということです

そうやって考えていくと、PQR の高さも変わらないと証明
「できそう」です

変形ついでに、AB、BC を １になるよう「変形」しても、
各 三角形の面積の「比」 は変わりません

つまり、点 A を （0、1）、点B を （1、0） の直角三角形に
変形しても、各 三角形の面積の「比」 は変わらないので
この「計算しやすそうな」 三角形で考えれば良いです

そうすると、点 E の座礁は （1-t、t）　であることがわかります

点 E の座礁は （s、0）、点 D の座礁は （0、1-u） です

３点がわかれば、各々の通る直線の方程式も出せるので
点 P、Q、R の座標もわかり、面積も出せちゃますよね

ちょっと面倒臭そうなので、まだ、解いてませんが