ベクトルの証明問題（大学受験）

質問

現在、ベクトルを勉強していますが、わからない問題があります。これは、大学受験用参考書に載っている問題です。どなたか、おわかりになる方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題：
平面上に三角形ABCと点Oがある。
三角形ABCの内部にある点Pは、s+t<1,s>0,t>0をみたすs,tを用いて、AP=sAB+tACと表されることを示せ。

s+t<1,s>0,t>0をみたすs,tを用いて、AP=sAB+tACのとき、点Pは三角形ABCの内部にある,というのは、公式として、覚えているのですが、それを示せといわれるとわからず、解答を読みました。でも、どうしてそうなるのか、わかりません。

解答：
三角形ABCがあるとき、BA:QA=1:s,QP:AC=t:1,AC平行QRとなる、PQRをとり、s,tを定めると、
AP=sAB+tACでQR:ACは、BQ:BA=1－s:1
よって、Pが三角形ABCの内部の点であるための条件は0<s<1,0<t<1－s
すなわち、0<s<1,t>0,s+t<1(証明終)

私は、「Pが三角形ABCの内部の点であるための条件は、0<s<1,0<t<1－s」というのが、わかりません。それでも、0<s<1は、まだわかるような気がします。でも、0<t<1－sというのは、やはりわかりません。「1－s」は、つまりBQを表すと思うのですが、どうして、tと比べて、0<t<1－sとならないといけないのかがわかりません。

問題の公式が当たり前すぎて、その公式を証明しようとしたことがなかったので、恥ずかしく思います。どなたか、ご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

＞BA:QA=1:s,QP:AC=t:1,AC平行QRとなる
Qは辺AB上、Rは辺BC上、PはQR上(Qに関してRと同じ側)
でいいですか？

辺ACの長さをbと置きますね。

定義からQP＝tbです

また△BACと△BQRは相似なのでAC:QR=BA:BQ＝1:1-sです
よって、QR＝(1-s)b

図を書けば分かると思いますが、Pが三角形の内部にあるってことは、QP<QRですね。

これと、上に書いた式からtb<(1-s)b
よって、t<1-sが導かれます。

0<tの部分は0<s<1と同様です。

お礼

eatern27様、さっそくお返事をいただきありがとうございました。お礼が遅くなり申し訳ありません。

△BACと△BQRは相似ということは、気づいていましたが、そこから、
「AC:QR=BA:BQ＝1:1-s　よって、QR＝(1-s)b」
へと、考え進めることができませんでした。今、本の解答を、納得することができました。

ご回答いただき、本当にありがとうございました。また、お聞きすることもあると、思いますが、宜しくお願いいたします。ありがとうございました。

補足

＞Qは辺AB上、Rは辺BC上、PはQR上(Qに関してRと同じ側)
＞でいいですか？
その通りです。質問させていただくのに、説明が不完全で申し訳ありませんでした。

回答No.4

nabla

nablaです。

>s+t<1は、どう理由付けすればよいのでしょうか。

s+t<1を変形すると、s<1-tとなります。

いきなりs<1-tの領域を考えるのは大変なのでとりあえずs=1-tという方程式が表す図形を考えてみましょう。するとこれは(1,0)と(0,1)を通る直線だと分かります。

それではs<1-tが一体どの部分をあらわしているのかというと、この直線で分割された領域のうち原点を含む方だと分かります。（実際(0,0)を代入してみると0<1となり条件を満たしています）

ところで、goodoさんは１年生か２年生ですか？もし３年生なら「図形と方程式」という単元でこういった感じの領域の話は扱ったはずですよ。

お礼

nabla様、さっそくご回答いただき、ありがとうございました。

なるほど、s<1-tという式だと、その表す範囲が明確ですね。この形に変形するのが思いつきませんでした。

「図形と方程式」という単元だったかどうかは、わかりませんが、確かに習いました。答えを導きだせるような式に変形できるようになることが、重要ですね。

度々のご回答、ありがとうございました。またお聞きすることもあると思いますが、宜しくお願いいたします。

回答No.3

p-masa

ＡＰ＝sＡＢ＋tＡＣ
　　＝(s+t){s/(s+t)ＡＢ＋t/(s+t)ＡＣ} (s+t≠0)
ここで線分ＡＢ上にあり線分ＡＢをt:sに内分する点をＱとおくと、
ＡＰ＝(s+t)ＡＱ
ここで、s＞0,t＞0,s＋t＜1より
0＜s+t＜1
よって、Ｐは線分ＡＱ上の点である。
ゆえに、Ｐは三角形ＡＢＣの内部の点である。

※1行目から2行目の変換は、入試問題を解く上でも非常に活用範囲の広い変形パターンです。

お礼

p-masa様、ご回答いただき、ありがとうございます。
1行目から2行目の変換は、内分点の公式の逆ですね。私の参考書の解答とは、また、違った解き方でしたが、大変参考になりました。ありがとうございました。

ご回答を読ませていただき、それを理解することはできたのですが、自分で、この解答を思いつけるかというと、まだ解いた問題数が十分でないのでしょう、今の自分の力では、思いつけないな、と反省いたしました。

また、わからない点があれば、質問させていただくと思いますが、宜しくお願いいたします。今回は、ありがとうございました。

回答No.2

nabla

その証明方だと納得させるように説明する自信がないんで、別の方法で証明してみますね。

まず三角形OABを考えてみましょう。
今Oといったのは、このOを原点として座標をとるためで、特に深い意味はありません。
まずOを原点としてOAとOBを基底（要するにデカルト平面＊１における(1,0)と(0,1)のベクトルに相当するベクトルです。平面上のあらゆる点は基底の整数倍の足し算（線形結合）であらわされます）とする斜交座標＊２を考えます。
すると点Pが
OP=sOA+tOBと書けるということは、
この斜交座標において、P(s,t)と書けるということです。
当然、斜交座標とデカルト平面は１対１に対応するので基本的な性質は変わりません。
では、「デカルト平面において原点と点(1,0)、(0,1)に囲まれた三角形内に点Pがはいる条件は？」と考えれば、もちろん答えの条件が出てきます。

＊１：デカルト平面とは普段使っている座標のことです。
＊２：斜交座標についての詳しい説明は下記URLで。

参考URL：

http://www.graco.c.u-tokyo.ac.jp/~kashiwa/print/niji/node8.html

お礼

nabla様、早速ご回答いただきありがとうございました。お礼が遅くなり申し訳ありません。

このような証明方法もあるのですね。大変参考になりました。ただ、図形を書いて、1>s>0,1>t>0は、すぐにわかったのですが、s+t<1は、どう理由付けすればよいのでしょうか。先ほどから悩んでいるのですが、どう理由付けすればよいかわかりません。明らかすぎるのでしょうか。

もしお時間が許せば、度々申し訳ないのですが、御助言いただけないでしょうか。宜しくお願いいたします。今度は、ご回答いただき、ありがとうございました。