線分比の関係(初等幾何)

質問

添付画像において、線分比の関係

（AH/HG）・（BG/BE）・（CE/CA）=(AF/FB)・(BD/DC)・(CE/EA)

を証明したいのですが、どうしてもできません。

多分面積比に帰着させるのだと思うのですが。

どなたか分かる方がいましたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

＞（AH/HG）・（BG/BE）・（CE/CA）=(AF/FB)・(BD/DC)・(CE/EA)
チェバの定理、メネラウスの定理を知っていることを前提とします。
知らなければネット等で調べてください。

チェバの定理より右辺は1
よって
（AH/HG）・（BG/BE）・（CE/CA）=1
を示せばよい。

メネラウスの定理より
(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1

よって
（AH/HG）・（BG/BE）・（CE/CA）=(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)

整理して

(AF/FB)(BE/GE)(HG/AH)=1

これは分子と分母を入れ替えて、並び替えて

(BF/FA)(AH/HG)(EG/EB)=1

が示せればよい。

これは三角形EABにメネラウスの定理を適用したものであり、

成り立っている。

QED

お礼

お礼が遅れましてすみません。
ご回答どうもありがとうございます。

実はチェバの定理から
何とか「（AH/HG）・（BG/BE）・（CE/CA）=1」
を導きたかったのですが、チェバではなく、メネラウスを使うのですね。

どうもありがとうございました。