微分の問題についてです。

質問

次の問題について教えて下さい。
f〈X〉＝X３乗＋ｋX２乗＋X＋１　がX＞０の領域で極小値を持つような定数ｋの値の範囲を求めよ。

回答No.2

info22_

添付図をつけましたので一緒にご覧ください。

y=f(x)=x^3+kx^2+x+1
y=f'(x)=3x^2+2kx+1=3(x+(k/3))^2+1-(1/3)k^2

f(x)のxの3次の係数1>0なので、極小値を持つ条件は
　x=-k/3>0　かつ　f'(-k/3)=1-(1/3)k^2<0
これを解いて
　∴ k<-√3
このときf'(b)=0（b>-k/3) を満たすbが存在し極小値はf(b)。

ここで bはf'(x)=0の 2つ正の解x=a,b (0<a<b)　の内の大きい方の解で
　b=(1/3){-k+√(k^2-3)}
です。

回答No.1

178-tall

>f〈X〉＝X３乗＋ｋX２乗＋X＋１　がX＞０の領域で極小値を持つような定数ｋの値の範囲を求めよ。

　f'(X) = 3X^2 + 2kX + 1　　　　…(1)
の零点 X0 が X > 0 の領域にあり、
かつ X0 にて f'(X) が単調増加、つまり
　f''(X0) = 6X0 + 2k > 0　　　　　…(2)

(1) の零点
　X0 = {-k±√(k^2 - 3) }/3　が > 0 であるには？
k < 0 かつ k^2≧3 なら良さそう。
つまり、k < - √(3) かな？

(2) の値
　f''(X0) = 6X0 + 2k = ±2√(k^2 - 3)
　これが正値なのは、正号の場合かな？