行列AとA^(-1)の全成分が整数なら行列式も同一

質問

以下の問題をどなたかお教えください。

＊＊＊
行列Aとその逆行列A＾（－１）の成分がすべて整数であれば、
｜A｜＝｜A^(-1)|。
上記は成り立つか？　成り立つ場合証明せよ。
＊＊＊

上記、2×２行列であれば、|A|=|A^(-1)|=ad-bc で成り立ちますし、
3×3以上でいくつかのパターンを試したところ、成り立つようですが、
証明の仕方が分かりません＞＜

ご教授頂けますと幸いです。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

> 例えば、detA=2 ,det(A^(-1))=1/2のようなケースは考えられないでしょうか？

行列Aとその逆行列A＾(-1)の成分がすべて整数であって，det(Ａ)もdet(A^(-1))も，それぞれそれの成分の多項式になるのだから必ず整数です。

お礼

なるほど、よくわかりました！
詳しい解説本当にありがとうございます。

今後ともよろしくお願い致します。

回答No.1

f272

Ａ * A^(-1) = E (単位行列)
なのだから
det(Ａ) * det(A^(-1)) = 1
だろう。

補足

ご回答ありがとうございます。
本当に助かります。

1点補足で質問させて頂きたいのですが、

＞det(Ａ) * det(A^(-1)) = 1
＞だろう。

ということは、det(A)=det(A^(-1)) と
いうことなのでしょうか？

例えば、detA=2 ,det(A^(-1))=1/2
のようなケースは考えられないでしょうか？