A^3=(8 -19, 0 27)を満たす行列A？

質問

A^3=(8 -19, 0 27)
を満たす実数成分を持つ2×2行列Aを求めよ。

という問題なのですが、いくら考えてもわかりません。教えて下さい。

＊以下は関係ありませんかね…道筋が見えません。
A^3=(8 -19, 0 27)は固有ベクトルを持ちません（行列式|A^3-単位行列|\=0）
A^3=(2^3 2^3-3^3, 0 3^3)と表せます。
(A^3)の逆行列は(1/8 19/216, 0 1/27)です。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

8=2^3で27=3^3だと気がついているのならA=(2 -1, 0 3)だとすぐに分かりそうなものだが...
愚直にやるのならA=(a b, c d)としてA^3を計算する。A^3の
1行2列はb(a^2+ad+bc+d^2)=-19
2行1列はc(a^2+ad+bc+d^2)=0
になるがa^2+ad+bc+d^2=0ではありえないのでc=0がすぐに分かる。あとは簡単ですね。

お礼

＞三角行列の積は三角行列になって，その対角成分は対角成分同士の掛け算になります。

ありがとうございました！

補足

迅速なご回答ありがとうございます！

＞8=2^3で27=3^3だと気がついているのならA=(2 -1, 0 3)だとすぐに分かりそう
すみません、どうしてすぐわかりそうなのでしょうか…？

回答No.2

f272

#1です。
三角行列の積は三角行列になって，その対角成分は対角成分同士の掛け算になります。
それから類推すると，Aの1行1列を3乗するとA^3の1行1列になるし，Aの2行2列を3乗するとA^3の2行2列になるとは思わないか？
Aの対角成分がわかって，Aの2行1列は当然に0だろうから(上記三角行列の積の性質)，1行2列は簡単な計算ですぐにわかる。

お礼

ご丁寧にありがとうございました！
よくわかりました！