数学Bの問題で・・・

質問

こんにちは。次の問題が全く分かりません。(※ベクトルは→で表します。アルファベットの後に「→」が来たら、そのアルファベットに乗っかっていると思ってください)

三角形OABでOA→＝a→、OB→＝b→とする。|a→|＝√3、|b→|＝2、|2a→－b→|＝2√2とする。さらに、三角形OABの周上および内部に点Hをとり、OH→＝sa→＋tb→とおく。
(1)点Hが三角形OABの垂心だとすると、sとtの値はいくらか。
(2)s＝1のとき、|OH→|の最小値と、そのときのtの値を求めよ。

おそらく三角形OABはOA＝ABの二等辺三角形だと思うのですが・・・

分かる方、よろしくお願いします。

回答No.4

htms42 · ベストアンサー

ＯＡ＝√３、ＯＢ＝２というだけでは三角形の形が決まりません。∠ＡＯＢが決まらないからです。この角度を決めているのが
ＯＣ＝｜２ａ^→－ｂ^→｜＝２√２
という条件です。これで∠ＣＯＢ＝∠Ｒが出てきます。
ＯＣ，ＯＢを二辺とする長方形の対角線の交点がＡです。
ＯＡ＝ＡＢ＝√３が成り立ちます。

（１）ＯからＡＢに下ろした垂線の足をＸ，
ＡからＯＡに下ろした垂線の足をＹとします。
ＡＸ＝１／√３
ＯＹ＝１
です。（自分で求めてください。）
これでＯＸ上の点をａ^→、ｂ^→で表すことも
ＡＹ上の点をａ^→、ｂ^→で表すこともできるようになります。
垂心は交点ですから両方で表した点が同じ点になっているということです。ｓ、ｔが決まります。

（２）ｓ＝１と固定ですから
ＯＢの線上に色々矢印を書いて合成してみてください。
ａ^→－ｂ^→
の長さが最小であることが分かります。ＯＣ／２＝√２です。
ｔ≠－１で平行四辺形を書いてみて対角線の長さが常に√２よりも大きいということを示せば証明になります。

回答No.3

arrysthmia

ああ、垂心でしたか。それは失礼。
夕方はケイタイだったので、細かい字が見辛くて…

(1)
垂心による三垂線の内分比が等しい
ことを使う。

…よりも、素直に
AH⊥OB と BH⊥OA を s,t の連立方程式として
解いたほうが早いでしょうね。

回答No.2

USB99

正射影ベクトルを使うのがいいのかと。下記ＨＰは参考になりませんか？

参考URL：

http://d.hatena.ne.jp/gould2007/20080505

回答No.1

arrysthmia

中学生の幾何です。

(1)
重心が中線を 2:1 に内分する
ことを使う。

(2)
A を通って OB に平行な直線
上の点で、O に一番近いのは、
何処か。

お礼

ありがとうございました。

(1)は一体どこから重心が出てくるのでしょうか？分からないので教えてください。