数研出版メジアンの192の解答

質問

2010年、津田塾大の問題です。

原点を中心とする単位円のy≧0の部分をＣとし、2点A(－１,√３)とB(３,√３)を考える。点Pが曲線Ｃ上を動くとき、
APの2乗＋BPの2乗
が最小となるようなPの座標を求めよ。

という問題なのですが、ヒントとして、線分ABの中点をMとすると,△ABPにおいて中線定理により
APの2乗＋BPの2乗
＝2(PMの2乗＋AMの2乗)
＝2(PMの2乗＋４)

を利用するようなのですが、全くわかりません;
どなたかわかりませんか…？教えてください＞＜

※すみませんが、累乗を携帯でどう表すのか分からなかったで「～の2乗」と 表しました。読みにくくてすみません！m(__)m

回答No.1

eco1900 · ベストアンサー

率直に言えば…図をきちんと書いてみると一目瞭然ですよ。

・恐らく大学側としては解法の第一歩として…

「AP^2＋BP^2」という形から→中線定理(パップスの定理)を使うのかな？…に気付くかどうかが狙いなのでしょうね。

だから、一度「中線定理」を図と共に確認しておくことが望ましいと思います^^。

続きとしては…

2点A(－１,√３)とB(３,√３)から点Mの座標は(1，√3)ですね。(＊直線ABはx軸に平行のため）

点P(a, b)としてもいいのですが…

この問題のように円周上の点である場面では、P(OPcosθ，OPsinθ)といった置き方の方が何かと便利な場面が多いですよ^^A。
＊ただし、この場合「制限範囲」が付くことが多いので気を付けてくださいね。
＊ここでは、問題文から「0≦θ≦π」という「制限範囲」が付きます。

その上、今回の場合は「単位円」ということなので…OP＝半径＝1　ですから尚更都合がよさそうですね^^A。

ということで、全ての点の配属は決定しましたね^^

　A(－１,√３)
　B(３,√３)
　M(1，√3)
　P(cosθ，sinθ)　（０≦θ≦π）

…後は、先程の「中線定理」を使って具体化してみます。

…三角関数の合成などを使ったりしてください。

この辺りから自力でもできるような気がします^^A。

最後まで解いてみましたが、最終的にθ＝π/3のとき最小となると思いますよ。

θが出たなら…点Pの座標はもうお分かりでしょうから。

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お礼

分かりやすく解説してくださり、ありがとうございました!!
おかげで解答のP(1/2,√3/2)まできちんとたどり着けました(;-;)感謝します。

やっぱり、図は大事ですね(^_^;)

回答No.2

R_Earl

APの2乗＋BPの2乗と2(PMの2乗＋４)が同じなので、
APの2乗＋BPの2乗を最小にするには、
2(PMの2乗＋４)を最小にすればよいという事になります。
2(PMの2乗＋４)の式を眺めると、
PMの2乗が最小になれば2(PMの2乗＋４)全体が最小になるのが分かりますよね。
なのでPMの2乗を最小にする事を考えます。

点Pは原点中心の単位円上の座標なので(cosθ, sinθ)とおけますよね。
点Mの座標は、線分ABの中点なので(1, √3)です。
そうすると三平方の定理より

PMの2乗 = (1 - cosθ)の2乗 + (√3 - sinθ)の2乗

となります。
後はこの式を展開して整理し、最小値を考えてみましょう。
途中現れる-2cosθ-2√3sinθに戸惑うかもしれませんが、
これに関しては「三角関数の合成」の公式をあてはめて1つのsinにしてしまいましょう。
そうするとPMの2乗は定数とsin1個の式になります。
定数部分は値を小さくすることができないので、PMの2乗を最小にするためには
sinの部分を最小にすれば良い事になります。

お礼

詳しい解説、ありがとうございました!!
おかげでP(1/2,√3/2)と、解答まできちんとたどり着けました(^^)感謝します。