立方完成，Ｎ乗完成は存在するの？

質問

数学で平方完成というのがありますが、それなら立方完成というのは存在するのでしょうか？
また、４乗完成や５乗完成というのは存在するのでしょうか？

回答No.2

BookerL · ベストアンサー

平方完成では、例えばｘに関する二次式を　（ｘ＋ａ）^2 ＋ ｂ という形に変形します。

　一般的には、ｘ^2 ＋ ａｘ ＋ ｂ ＝ (ｘ ＋ ａ/２)^2 ＋ (ｂ － ａ^2/４)

※ 最後の（　　）はなくてもいいのですが、定数項をまとめてあります。
※ ｘ^2 の係数が １ でないときは、全体をその係数で割ったもので考えればよい。

　さて、「立法完成」というのを、「ｘに関する３次式を　　（ｘ＋ａ）^3 ＋ ｂ　というかたちに変形する」ということとすれば、一般的にはできません。
　　（ｘ＋ａ）^3 ＋ ｂｘ ＋ ｃ のように、あまりをｘの一次式にするならできます。

ｘ^3 ＋ ａｘ^2 ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ (ｘ ＋ ａ/３)^3 ＋ (ｂ － ａ^2/３)ｘ ＋ (ｃ － ａ^3/27)

これは、ｘ^3 ＋ ａｘ^2 ＋ ｂｘ ＋ ｃ というしきと、(ｘ ＋ ｐ)^3 を展開した式とを比べればでてきます。

４次式以上でも同じようにできるはずですから、考えてみてください。

お礼

なるほど、やはり立方完成も存在するのですか。
Ｎ次式の時は（Ｎ－１）次の項を無くせばよいわけですね。

平方完成や立方完成をお手本にして、４次式の場合も計算してみました。
そしたら次の式になりました。

ｘ^4＋ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝(ｘ＋ａ/4)^4＋(ｂ－3(ａ^2)/8)x^2＋(ｃ－(ａ^3)/16)ｘ＋(ｄ－(ａ^4)/256)

こんな感じでよろしいのですよね。

回答有難うございました。

補足

４次式や５次式の場合は４乗完成や５乗完成という名称でよいのでしょうか？

回答No.1

noname#157574

あります。例えば立方完成は次のようになります。
a³+b³=a³+3a²b+3ab²+b³-3a²b-3ab²
　　　=(a+b)³-3aｂ(a+b)
　　　=(a+b){(a+b)²-3ab}
　　　=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=a³-3a²b+3ab²-b³+3a²b-3ab²
　　　=(a-b)³+3aｂ(a-b)
　　　=(a-b){(a-b)²+3ab}
　　　=(a-b)(a²+ab+b²)

お礼

回答有難うございました。
でもこれって因数分解しただけなのでは・・・
もしかして立方完成って因数分解の公式なの？