数学（ベクトル）の問題

質問

三次元空間中の問題です

三次元空間中にある重ならない二点Ａ（x1,y1,z1）とＢ（x2.y2,z2）があって、Ａを通り、方向ベクトルV1=(v1x,v1y,v1z)である直線Ｙ1とＢを通り、方向ベクトルＶ2＝（v2x,v2y,v2z）である直線Ｙ2が交わらないとする。,Ａ,B,V1,V2が分かっているとき、直線Y1とY2の最短距離と、その時のY1上の点A1,Y2上の点B1を求めなさい。また、どのような条件のもとで距離が最小になるかを考えなさい。
という問題があって分かりません。導出過程もお願いします。

回答No.2

alice_44

バラメータ t が、A No.1 とは違う置き方ですが、
貴方の置き方でも、支障はありません。
V2 の向きが反対になっているだけです。
その式は、そのままで使えます。

後は、先の回答にも書いたように、その式を
２回平方完成して、最小値を考えればよいです。

まず、右辺の括弧を展開して、s の二次式として
平方完成しましょう。
そのとき、t も係数の一部と考えます。
すると、定数項が t の二次式になるので、
今度はそれを t の式として平方完成します。

そこまでできたら、また、補足にどうぞ。

補足

申し訳ありません。
展開すると、数式だらけでややこしくなってしまいました。
もっと簡単な表し方や計算方法はありますか？

あればお願いできないでしょうか？　改めて計算し直します。
また、先ほどの補足で２点間の距離で表すと、v1の向きはマイナスの向きだったかもしれませんがどうなのでしょうか？

回答No.1

alice_44

直線 Y1 上の点が、(x1,y1,z1)+t(v1x,v1y,v1z) と、
直線 Y2 上の点が、(x2,y2,z2)+s(v2x,v2y,v2z) と、
パラメータ表示出きることは、解りますか？
これが解らなければ、直線のパラメータ表示について
教科書を復習のこと。

上記２点間の距離を、t,s の２変数関数として書くことは
できますか？ それができなければ、２点間の距離について
教科書を復習のこと。

２点間の距離を L として、L が最小になることと
L^2 が最小になることは同値なので、L^2 で考えた方が
計算する式は少し簡単になります。

二次関数の最小を考える問題ですから、平方完成を２回行えば、
(微分などは使わなくても)最短距離になる s,t が求まります。

やってみてください。
L^2 が s,t の式で表せた時点で、一回補足に書いてくれれば、
コメントしますよ。

補足

L^2で表したのですが、これで良いでしょうか？

L^2=(x2+sv2x-x1+tv1x)^2+(y2+sv2y-y1+tv1y)^2+(z2+sv2z-z1+tv1z)^2

間違っていたら正しい解答をお願いします。また、次以降から結論までの方も教えて頂ければ幸いです。