平行線とは何なのでしょうか.

質問

楕円幾何、（放物幾何、双曲幾何）
↓
なんとなく、判っている気がしていたのですが、
最近、全く判ってない事に気が付きました。
楕円幾何のなかで、イメージできるのは、
２次元の球面だけです。

（相対論の３次元については、別のスレッドで。）
（正の曲率、一般の楕円幾何も、別のスレッドで。）

２次元の球面では（球面三角法）が成立するので、
（数式）で記述できそうです。

質問です。球面では、

（１）平行線は存在しない。
（２）平行線は２点で交わる。（この場合は、平行線とは何？）
　　　（測地線の意味はわかりますが、最短距離？？）
　　　（大円が平行線に対応するのも、判りますが？？）
（３）２点で交わる、のはまずいので、一点で交わるとして、もう一点は（影）とする。（この場合も、平行線とは何？）

（１）（２）（３）はどれも正しいような気がするし、どれかが最良の様な気もします。

全く判っていないので（概念）だけで良いので、よろしくお願いします。

回答No.1

yanasawa · ベストアンサー

「直線」を大円で定義すれば、(1)が正しいです。
どちらにしても平行線は交わらないことが必要です。

お礼

回答、有り難うございます。

＞＞「直線」を大円で定義すれば、

平行線が、２点で交わるのではなくて、
（直線が、２点で交わる）と。

なるほど、そうだったんですね。
もう、締めても良さそうですが、もう少し待たせて下さい。

（２）と（３）を（２直線の交点）と、変更して、
（２）が、射影幾何（無限遠点）との関連で、（３）になる様に思えますので。
その辺りの回答があるやもしれませんので。

重ねて御礼申し上げます。