ルートの積の微分結果がわかりません

質問

問題は、(a-x)^0.5 * x^0.5　のxによる微分です(aは定数)。
ある解説で、結果が突然次のようになっています。
- (a-x)^0.5 * x^0.5 * { 1/(a-x) - 1/x } / 2

積の微分公式では、
{(a-x)^0.5}' * x^0.5 + (a-x)^0.5 * {x^0.5}' 　('は微分)なので展開すると複雑な式になります。

この展開結果は上記解説の式と等しいはずですが、
どのようにして解説のように変形できるのかわかりません。
ご教示いただけると幸いです。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

地道に積の微分は、

(1/2)√(a-x)/√(x) - (1/2)√(x)/√(a-x)

これを(1/2)√(a-x)√(x)でわると 1/x - 1/(a-x)

だから

(1/2)√(a-x)√(x)(1/x - 1/(a-x))

複雑な計算ではないですよ。

お礼

tknakamuriさん
ありがとうございます。

スマートでわかりやすいです。
数学センスを感じます。ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

積の微分法で
{(a-x)^0.5 * x^0.5}'
= {(a-x)^0.5}' * x^0.5 + (a-x)^0.5 * {x^0.5}'
とした後、
(x^0.5)' = (0.5)(x^-0.5) = (1/2)(x^0.5)/x
を使って
{(a-x)^0.5}' * x^0.5 + (a-x)^0.5 * {x^0.5}'
= (-1)(1/2)(a-x)^0.5/(a-x) * x^0.5 + (a-x)^0.5 * (1/2)(x^0.5)/x
となる。この式で、
- (a-x)^0.5 * x^0.5 を左側へ、1/2 を右側へ括り出すと、
(-1)(1/2)(a-x)^0.5/(a-x) * x^0.5 + (a-x)^0.5 * (1/2)(x^0.5)/x
= -(a-x)^0.5 * x^0.5 {1/(a-x) - 1/x} /2.
基本的な変形をコツコツ続ければ、変形できる。

奇を衒った計算方法としては、
log{(a-x)^0.5 * x^0.5} = (1/2)log(a-x) + (1/2)log(x)
の両辺を x で微分する手もあるけれど。

お礼

alice_44さん
ありがとうございます。

基本的な変形をコツコツと・・・
それができない自分がなさけないです。

回答No.1

spring135

積や1/n乗が絡んだ関数の微分はいろんな展開ができるので、解説者の好みを混ぜることができますが、気にすることはありません。結果だけが意味があります。

一般化すると

G(x)=[f(x)g(x)]^(1/n)

と記述できます。ここに

f(x)=(a-x), g(x)=x, n=2

です。

G'(X)=(1/n)[f(x)g(x)]^(1/n-1)[f'(x)g(x)+f(x)g(x)']

=(1/n)[f(x)g(x)]^(1/n)[f'(x)g(x)+f(x)g(x)']/[f(x)g(x)]

=(1/n)[f(x)g(x)]^(1/n)[f'(x)/f(x)+g'(x)/g(x)]

これをf(x)=(a-x), g(x)=x, n=2の場合に適用します。

G'(X)=(1/2)[(a-x)x]^(1/2)[-1/(a-x)+1/x]

QED

お礼

spring135さん
ありがとうございます。

汎用的に解決できるとはすごいです。