微分について質問です。

質問

数学IIIでの質問です。
次の式からｄｙ/ｄｘをx及びyを用いて表せ
xy=10
という問題なのですが自分は最初、
y=10/xとし
dy/dx=10・(-1)/ｘ*2
dy/dx=-10/x*2
これが答えだと思ったのですが回答は
1・y+x・dy/dx=0
dy/dx=-y/x
となっています。
これは積の微分公式を使ったということなんですが
ｘｙを微分するときでも使えるんですか？
それとこのｘｙを微分するとｙになると思うんですがなぜ積の微分公式を使うのですか？
回答お願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

>これは積の微分公式を使ったということなんですが
ｘｙを微分するときでも使えるんですか？
それとこのｘｙを微分するとｙになると思うんですがなぜ積の微分公式を使うのですか？

積の微分公式を使っています。xの関数f(x),g(x)の積のP(x)の微分は

P(x)=f(x)g(x)

dP(x)/dx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　　(1)

です。

ご質問のyはまさにxの関数（ｙ＝10/ｘ）

(1)において

P(x)=xy

f(x)=x

g(x)=Y

とすると

右辺は

y+xy'

右辺は定数の微分なので0
よって

y+xy'=0

QED

お礼

なるほど！
確かにｙはｘの関数ですね！
このｘｙのｙがなぜｘの関数として積の微分公式に当てはまるのか
理解できました！回答ありがとうございます。

回答No.1

asuncion

＞dy/dx=-10/x*2
＞これが答えだと思った

＞ｄｙ/ｄｘをx及びyを用いて表せ

「xおよびyを」用いて表わしていないため、不正解なのではないでしょうか。
xy=10をy=10/xと変形してxについての関数とみなしてxで微分すると、

＞dy/dx=-10/x*2

間違いなくこうなりますので、後は、10/x=yを代入すれば
dy/dx=-y/x
になりますね。

お礼

そういう考え方もあるんですね！
回答ありがとうございました。