偏微分・全微分を使った証明

質問

力学のある問題の証明で困っております。

z(x,y）　　　zはx,yを変数に持つ関数（式は具体的には指定されていない）

x=rcosα-ssinα
y=rsinα+scosα　　（αは定数）

の時

∂^2ｚ/∂x^2+∂^2z/∂y^2　=　∂^2z/∂r^2+∂^2z/∂s^2　を証明せよ。　（^2は二階微分）
です。

全微分を駆使して証明するようなのですが、私のやり方では右辺を展開する途中で

∂^2z/（∂r∂x）cosα+∂^2z/（∂r∂y）sinα-∂^2z/（∂s∂x）sinα+∂^2z/（∂s∂y）cosα

が出てきました。（ここまで合ってればいいのですが・・・）
そうすると、sinαとcosαの係数にある微分記号の分母∂ｘ,∂yが邪魔で、この先どう変形して良いのかわからず、左辺の式まで持っていけません。

どなたかわかりませんでしょうか？

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

∂z/∂r=(∂x/∂r)(∂z/∂x)+(∂y/∂r)(∂z/∂y)
が成り立つというのは問題ないようですが、このzの部分はrとsの関数であれば何でもよくて、f=f(r,s)という関数について
∂f/∂r=(∂x/∂r)(∂f/∂x)+(∂y/∂r)(∂f/∂y)
という式も同様に成り立ちます。

特に、f(r,s)=∂z/∂r(=∂z/∂x・cosα+∂z/∂y・sinα) という関数でもよくて、そうすると
∂^2z/∂r^2=(∂x/∂r)(∂/∂x)(∂z/∂r)+(∂y/∂r)(∂/∂y)(∂z/∂r)
のように計算していくことができます。

さて、上にも書いたように
∂f/∂r=(∂x/∂r)(∂f/∂x)+(∂y/∂r)(∂f/∂y)
が任意の関数fで成り立ちますので、fを省略して、
∂/∂r=(∂x/∂r)(∂/∂x)+(∂y/∂r)(∂/∂y)
のように書いてもいいですよね。
で、∂x/∂r,∂y/∂rを具体的に計算したものが#2さんの
>∂/∂r = cosα∂/∂x + sinα ∂/∂y
ですね。何も省略して書かないで書く事にするのなら
∂f/∂r = cosα∂f/∂x + sinα ∂f/∂y
が任意の関数fで成り立つ、という事と同じ事を言っています。

なお、
∂f/∂r=(∂f/∂x)(∂x/∂r)+(∂f/∂y)(∂y/∂r)
の式(上の式とは積の順番が違う)でfを省略すると
∂/∂r=(∂/∂x)(∂x/∂r)+(∂/∂y)(∂y/∂r)
のようになりますが、このように書くことはできません。
このように書くと省略する前の式は
∂f/∂r=(∂/∂x)[(∂x/∂r)f]+(∂/∂y)[(∂y/∂r)f]
のように∂x/∂rもxで微分するという風に解釈する事になってしまうので。

補足

詳細な説明ありがとうございます。疑問点を確認します。

ｚとfは、r,sの関数であれば同じであるため、省略して表記できるが、実際には存在しているということでしょうか？

また
∂^2z/∂r^2=(∂x/∂r)(∂/∂x)(∂z/∂r)+(∂y/∂r)(∂/∂y)(∂z/∂r)　

をどうやって出したのかが、わかりませんでした。私がとくと

∂^2z/∂r^2=∂/∂r・（∂z/∂r）

になるようなきがします。↑は完全に分数と同じような扱いをしたため、おかしなやり方になってると思いますが、なぜこうは出来ないのでしょうか？

回答No.4

eatern27

>ｚとfは、r,sの関数であれば同じであるため、省略して表記できるが、実際には存在しているということでしょうか？
細かい事を抜きにすれば基本的にはそういう認識で良いです。

>∂^2z/∂r^2=(∂x/∂r)(∂/∂x)(∂z/∂r)+(∂y/∂r)(∂/∂y)(∂z/∂r)　
>をどうやって出したのかが、わかりませんでした。
∂f/∂r=(∂x/∂r)(∂f/∂x)+(∂y/∂r)(∂f/∂y)
にf=∂z/∂rを代入しただけです。∂(∂z/∂r)/∂xのような表記だと見にくいので、(∂/∂x)(∂z/∂r)のように書いています。

>∂^2z/∂r^2=∂/∂r・（∂z/∂r）
>になるようなきがします。
なるという事で正しいですよ。実際、上の式の左辺にf=∂z/∂rを代入すると(∂/∂r)(∂z/∂r)になりますよね。

お礼

多々の回答誠にありがとう御座いました。一応問題の解が一致するような書き方が出来ました。（あっているかどうかは解かりませんが・・・笑）

非常に参考になりました。また機会があれば、ご質問するかもしれません。ありがとう御座います。

回答No.2

heboiboro

∂/∂r = cosα∂/∂x + sinα ∂/∂y などを使って変形したんですよね。
同じことを繰り返せばいいです。
∂^2/∂r∂x = ∂/∂r(∂/∂x) = cosα∂/∂x(∂/∂x) + sinα ∂/∂y(∂/∂x) = cosα ∂^2/∂x^2 + sinα ∂^2/∂y∂x
こんな感じのことを全ての項についてやれば出てくるはずです。

補足

対応感謝します。
別の回答に、自分で解いた過程を載せました。参考にしてください。
微分記号に慣れていないので、初歩的な返答になりますが、御了承下さい。

∂/∂r = cosα∂/∂x + sinα ∂/∂y

これは用いておらず、なぜこうなるのかわかりません。どの様な規則でこうなるのでしょうか？
また、zはどうされたのでしょうか？

回答No.1

eatern27

>∂^2z/（∂r∂x）cosα+∂^2z/（∂r∂y）sinα-∂^2z/（∂s∂x）sinα+∂^2z/（∂s∂y）cosα
の導出はいったいどうやったのでしょう？
どうやったとしても、それと同じことをやればいいだけだと思いますが、同じ事ができない理由が何かあるのですか？

補足

対応感謝します。自分は

∂^2z/∂r^2=∂/∂r・（∂z/∂r）

=∂/∂r・（∂z/∂x・∂x/∂r+∂z/∂y・∂y・∂r）

=∂/∂r・（∂z/∂x・cosα+∂z/∂y・sinα）

=∂^2z/（∂r∂x）・cosα+∂^2z/（∂ｒ∂y）・sinα　　　(1)

∂^2z/∂r^2=　↑と同じやり方で

=-∂^2/（∂ｓ∂x）・sinα+∂^2z/（∂s∂y）cosα　 　　(2)

(1)+(2)=質問の式
です。

全微分に関して自分が用いた方法は
z（x,r）,　x（r,s）,　y（ｒ,ｓ）　の時

∂z/∂r=∂z/∂x・∂x∂r+∂z/∂y・∂y/∂r
∂z/∂s=∂z/∂x・∂x∂s+∂z/∂y・∂y/∂s　と置ける。

これのみです。

二階微分になってくると、微分記号の動きがよくわかりません。分数のように扱えると聞いてますが、実際分数ではないため、上記のように（）で分けて計算できるのかどうかも、自分としては怪しい状態です。正しい解法を参考にしたいと考えております。