数学C行列

質問

２次の正方行列AがA^3+3A^2+3A+E=0を満たすとき、次の（１）～（５）は逆行列をもつか？理由を示せ。
（１）A　（２）A+E　（３）A-E　（４）A+2E　（５）A-２E

回答No.3

SKJAXN · ベストアンサー

No.2さんの補足となってしまいますが、
A＋n*E＝B　とおくと、(1)はn＝0、(2)はn＝1、(3)はn＝－1、(4)はn＝2、(5)はn＝－2のケースに当てはまります。
A＝B－n*E　を与式に代入すると、
(B－n*E)^3＋3*(B－n*E)^2＋3*(B－n*E)＋E＝O
整理すると、
B*{B^2－3*(n－1)*B＋3*(n－1)^2*E}＝(n－1)^3*E　→(式1)
となります。

n＝1の場合(式1)は、B^3＝O　です。ここでBが逆行列B^(-1)を持つと仮定すると、
B^3＝O　⇔　B^(-1)*B^3＝B^(-1)*O　⇔　B^2＝O　⇔　B^(-1)*B^2＝B^(-1)*O　⇔　B＝O（∵　逆行列の定義よりB^(-1)*B＝E）
となり、Bが逆行列を持つことに反するため、B＝A＋E　は逆行列を持ちません。

n≠1の場合(式1)は、
B*[1/(n－1)^3*{B^2－3*(n－1)*B＋3*(n－1)^2*E}]＝E　→(式2)
となります。ここで逆行列の定義より、
1/(n－1)^3*{B^2－3*(n－1)*B＋3*(n－1)^2*E}がBの逆行列に対応します。すなわち、
B＝A＋n*E（n≠1）は逆行列を持ちます。

以上より、(1)と(3)～(5)は逆行列を持ち、(2)は逆行列を持ちません。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

>#1 です。基本的な発想は

すいません #2 でした。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

#1 です。基本的な発想は

1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ・・・・
1 = (1-x)(1 + x + x^2 + x^3 + ・・・・)

これを思いつけば簡単に解けます。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

A+E=B とおくと 問題は B^3 = 0 なら B-E, B, B-2E, B+E, B-3E が正則かという問題になりますが

Bが非正則なのは明らか。
(B+nE)(E-(1/n)B+(1/n^2)B^2)= nE -B + (1/n)B^2 + B - (1/n)B^2 = nE (n≠0) なので、
残りは全て正則です。

回答No.1

Tacosan

質問はなんでしょうか?

補足

逆行列をもつか？もたないか？という数学の問題が分かりませんのでご教示おねがいします。

２次の正方行列AがA^3+3A^2+3A+E=0を満たすとき、次の（１）～（５）は逆行列をもつか？理由を示せ。
（１）A　（２）A+E　（３）A-E　（４）A+2E　（５）A-２E