行列の問題です

質問

Ａを２次正方行列、Ｅを２次正方行列とし、（Ａ－Ｅ）^2＝Ｏであるとする。
（１）Ａは逆行列をもつことを示せ。
（２）Ａ^n+1-A^n=A-E（ｎ＝1,2,3,）であることを示せ。
（３）Ａ＝（a 2)
　　　　　(-2 -1)とするとき、（Ａ－Ｅ）^2=Ｏであるようにaの値を定めよ。
また、このときＡ^2(n=1,2,3,)を求めよ。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

Aの対角項の和をt，行列式をdとすると，Hamilton-Cayleyの定理より

（☆）A^2-tA+dE=O

[1](証)(A-E)^2=Oより

A^2-2A+E=O

☆からこの式を引くと，

(-t+2)A+(d-1)E=O

t≠2のとき，

A=kE (k=(d-1)/(t-2))

よってt=2k,d=k^2．ここでk=0とするとt=d=0であるが，kの定義より

k=(d-1)/(t-2)=1/2≠0

これは矛盾である．よってk≠0，d=k^2≠0でAは逆行列をもつ．

t=2のとき，(d-1)E=O,d=1≠0となりやはりAは逆行列をもつ．

いずれにしても，Aは逆行列をもつ．（終）

[2]（証）数学的帰納法による．

（★）A^{n+1}-A^n=A-E

[1]の(2)より

A^2-A=A-E

これは★のn=1のときに他ならない．★がnのときに成り立つと仮定すると，

A^{n+2}-A^{n+1}

=A(A^{n+1}-A^n)

=A(A-E)←nのときの仮定

=A-E←[1]の(2)

よってn+1のときも成り立つ．

こうしてn=1,2,3,・・のとき★は成り立つ．（終）

[3]t=a-1,d=-a+4であるから☆は

A^2-(a-1)A+(-a+4)E=O

∴A^2=(a-1)A+(a-4)E

∴(A-E)^2=A^2-2A+E

=(a-1)A+(a-4)E-2A+E

=(a-3)A+(a-3)E

=(a-3)(A+E)

これがOとなるためには

a-3=0またはA+E=O

ここでA+E=(a+1 2)
　　　　(-2 0)

であるからこれはOになりえない．よって

a=3

A^2は簡単すぎるので，A^nを求める．

A=(3 2)
(-2 -1)

[2]よりn≧2のとき

Σ_{k=1}^{n-1}(A^{k+1}-A^k)=Σ_{k=1}^{n-1}(A-E)

A^n-A=(n-1)(A-E)

これはn=1のときも成り立つ．

A^n=A+(n-1)(A-E)=nA-(n-1)E

=(3n 2n)-(n-1 0)
(-2n -n) (0 n-1)

=(2n+1 2n)
(-2n -2n+1)

回答No.3

alice_44

(A-E)^0 = O なら、変形して
A(-A+2E) = E が成り立ちますね。
この -A+2E は、A のにあたりますか？

A^(n+1)-A^n = (A^n)(A-E) ですね。
{A^(n+1)-A^n}(A-E) = (A^n)(A-E)^2 = (A^n)O = O だから、
A^(n+2)-A^(n+1) = A^(n+1)-A^n が成り立ちます。
よって、数学的帰納法により
A^(n+1)-A^n = A^n-A^(n-1) = A^(n-1)-A^(n-2) = … = A-Eです。

(A-E)^2 の成分を実際に計算してみれば、
(A-E)^2 = 0 となる a は解ります。

回答No.1

Tacosan

で質問は何? まさか, 「コピペするための解答を作ってください」なんてことはないよね?

「Ａ^2(n=1,2,3,)を求めよ」ってどういうことだろ....