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二重根号についての疑問
- 二重根号に関する疑問について説明します。
- 二重根号について正しい条件を解説します。
- a>0、b>0ではなくa>b>0またはb>a>0の条件が必要です。
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質問者が選んだベストアンサー
考え方は正しいです。 ただ、頭がこんがらがってしまうということなので、 もうちょっとわかりやすい表現方法を考えて見ました。 √{(a+b)-2√(ab)} =√(√a^2+√b^2-2√a√b)……(ルートの中は正ということなので、a>0、b>0) =√{(√a-√b)}^2………………(ルートの中は正ということなので、a>b) 条件を整理すると、a>0、b>0、a>b つまり、a>b>0 この条件で与式のルートを外すと、 (与式)=√a-√b
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- tsuyoshi2004
- ベストアンサー率25% (665/2600)
√a=c,√b=dとします。 a>0、b>0のとき （c,d∈Ｒ） √{(a+b) +2√ab } ＝ √a + √b √(c^2+d^2+2cd)=√((c+d)^2) =c+d なわけですね。 同様に a>0、b>0のとき （c,d∈Ｒ） √{(a+b) -2√ab } ＝ √a + √b √(c^2+d^2-2cd)=√((c-d)^2) とここまでは問題ありません。 が、ここで√と中の二乗を問題なく外せるかといえば、違います。 c-d≧0であれば、 √(c-d)^2=c-d ですが、 c-d<0であれば、 √(c-d)^2=d-c ですよね？ ちなみにx∈Rにおいて、 √(x^2)=|x| になります。
- alice_44
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そもそも、√ って何だったでしょうか？ ２乗すると x になる数のうち、負でないほう のことを、√x と書きます。実数の世界では。 x < 0 の場合、そのような実数は在りません。 話を複素数へ広げると、２乗すると x になる 虚数が２個在ります。でも、２個のうちの どっちが √x なんでしょう？ 実関数 √ は、√x と書きさえすれば意味が 決まっていますが、複素関数 √x では、 それが上記の２個のうちどちらを指すのかを 何かの方法で指定しないと、意味が決まらない のです。そこの指定のしかたには、いろいろ やり方があります。詳しくは、大学初年向きの 解析学の入門書を読んでください。高校範囲の 複素数の話には、そこの説明は出てきません。 質問の式、√(a+b+2√(ab)) = √a + √b も、 √(a+b-2√(ab)) = √a - √b も、この √ の 値の選択を適切に行えば、a や b が負でも 成立しています。 √ が 3 個出てくるので、両辺を -1 倍して 同じ式になるものがあることも考慮すると、 √ の選択は (2^3)/2 通りあります。 ＝ が成立する組み合わせは 1 通りで、他の 3 通りの組み合わせでは ＝ になりません。 虚数が登場すると、√a > √b のときは √(a+b-2√(ab)) = √a - √b といった、 √ の値の大小を使った議論ができなくなる ために、話が複雑になるのでした。 複素 √ の値の選択について、手軽に調べるなら、 "多価関数 枝 複素数 平方根" でも google してみてください。
- birth11
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回答の言葉を少し変えてみました。 この方がしっくりいくと思いましたので書き換えます。 考え方は正しいです。 ただ、頭がこんがらがってしまうということなので、 もうちょっとわかりやすい表現方法を考えて見ました。 √{(a+b)-2√(ab)} =√(√a^2+√b^2-2√a√b)……(ルートの中は正ということなので、a>0、b>0) =√{(√a-√b)}^2………………(ルートを外すと正ということなので、a>bで考えてみる) 条件を整理すると、a>0、b>0、a>b つまり、a>b>0 この条件で与式のルートを外すと、 (与式)=√a-√b
