高校数学、整数解をもつ不定方程式
（問題）
７ｘ＋９ｙ－８ｚ＝－７((1)）
3x＋2y－6z＝－8((2)）
（解答）(1)×３－(2)×４より、９ｘ＋１９ｙ＝１１((3)）
ｘ＝－３、ｙ＝２は(3)の整数解の１つだから、(3)⇔９（ｘ＋３）＝－１９（ｙ－２）
よって、ｋを整数として、ｘ＝－１９ｋ－３、ｙ＝９ｋ＋２（(4)）
(4)を(1)に代入して、７（－１９ｋ－３）＋９（９ｋ＋２）－８ｚ＝－７⇔１３ｋ＋２ｚ＝１
ｋ＝１、ｚ＝－６はこの方程式の整数解の１つで、１３（ｋ－１）＝－２（ｚ＋６）
よって、ｍが整数のとき、ｋ＝－２ｍ＋１、ｚ＝１３ｍ－６。
ｋ＝－２ｍ＋１を(4)に代入して、ｘ＝３８ｍ－２２、ｙ＝－１８ｍ＋１１、ｚ＝１３ｍ－６（ｍは整数）
（疑問）
この問題の方針は2つの方程式から1つの文字を消去した方程式（2文字）を作り、その方程式を満たす解を求め、その解を元の方程式の1つに代入し、3つの解を求める。というものです。
方程式(3)を満たすｘとｙはすべて、(1)と(2)を満たすのですよね？
にもかかわらず、(4)で、ｋ＝０としたｘ、ｙは(1)を満たしません。（ｚ＝１／２となって、整数にはならない）
また、今回この問題の疑問について、他の参考書で調べたところ、次の事柄が載っておりました。
（参考書）加減法の基本原理
（１）F(x,y)＝０かつG(x,y)＝０⇒aF(x,y)+bG(x,y)=0
（２）F(x,y)＝０かつG(x,y)=０⇔F(x,y)=0かつaF(x,y)+bG(x,y)=0
（１）について、なぜ逆（aF(x,y)+bG(x,y)=0⇒F(x,y)＝０かつG(x,y)＝０）は成り立たないのでしょうか?
aF(x,y)+bG(x,y)=0は点（Ｘ、Ｙ）を通る直線群を表しますから、この（Ｘ、Ｙ）はそれぞれa=1かつb=0,a=0かつb=1としたＦ(X,Y)=0とＧ（Ｘ、Ｙ）＝０を成り立たせるのではないでしょうか？
お礼
新しい情報有難うございました。 Wolfram|Alphaの機能を見てみたいと思います。