数学のしつもんです

質問

お願いします。

数学の問題です

方程式 13Ｘ+3Ｙ＝４の一つの解がＸ＝１、Ｙ＝-３であることを示し、
この方程式の整数解を整数Ｋを用いて表わせ。

答えが、13（Ｘ－１ ）＝-3（Ｙ+3）
１３と３は、互いに素なのでＸ－１は、３の倍数、-（Ｙ+3）は、１３の倍数

とあるのですが、
（Ｘ－１ ）が-3の倍数、
（Ｙ+3）が１３の倍数として答えを出してはいけませんか？

回答No.3

Knotopolog

方程式 13Ｘ+3Ｙ＝４は，不定方程式で，その解は，Ｋを用いて表すと

Ｘ＝3Ｋ－8　　・・・・・・・(1)

Ｙ＝36－13Ｋ　　・・・・・・(2)

になります．解き方は，少し長く，複雑になるので，ここでは書きません．
(1)式と(2)式を与式の方程式 13Ｘ+3Ｙ＝４に入れると

13Ｘ+3Ｙ＝13(3Ｋ－8)＋3(36－13Ｋ)
　　　　＝13×3Ｋ－13×8＋3×36－3×13Ｋ
　　　　＝3×36－13×8＝４

となるので，(1)式と(2)式は与式を満たすことが分かります．
質問の中の答えにある「Ｘ－１は、３の倍数」は，(1)式を用いてＸ－１を
計算すると

Ｘ－１＝3Ｋ－8－１＝3Ｋ－9＝3(Ｋ－3)

なので，Ｘ－１＝3(Ｋ－3) となり，Ｘ－１は３の倍数です．一方，
－(Ｙ＋3)を(2)式を用いて計算すると，

－(Ｙ＋3)＝－(36－13Ｋ＋3)＝13Ｋ－39＝13(Ｋ－3)

なので，－(Ｙ＋3)＝13(Ｋ－3) となり－(Ｙ＋3) が１３の倍数である
ことが分かるのです．（以上おわり）

回答No.2

Mr_Holland

＞（Ｘ－１ ）が-3の倍数、
＞（Ｙ+3）が１３の倍数として答えを出してはいけませんか？

　このように書いても間違いではありませんが、適切ではないと思います。
　確かに「３の倍数」と「－３の倍数」は同じですが、ここでは「１３と３は、互いに素」と素数を問題にしていますので、どちらも素数の倍数という書き方にした方が良いと思います。
　素数とは、１とその数自身以外に正の約数がない１より大きな≪自然数≫となっています。
　そのため「３の倍数」と書いた方が適切だと思われます。

回答No.1

sanori

こんばんは。

＞＞＞として答えを出してはいけませんか？

もちろんいいですよ。
ただ、「－３の倍数」というのは耳慣れない言い方なので、
「３の倍数」とするほうがよいと思います。