２次方程式 実数解

質問

xについての２次方程式　　x*-(2a+k)x+2ak-1＝0
で、a,kが実数、a＞0のとき、次の問いに答えよ。

問）この方程式が負でない２つの実数解α、βをもつとき、α＋βの最小値を求めよ。また、このときのa,kの値を求めよ。

わからなくて困っています
教えてくださいお願いします(´；ω；｀)

回答No.2

drmuraberg

２次方程式の根の公式より、
X = (2a+k±√K)/2　　　　K=(2a+k)^2-4(2ak-1)=(2a-k)^2+4

αとβは２次式の根であるから、それぞれが上のXとなり２つの和は±が相殺するから
α＋β = 2a+k

解はK>0であるから、確かに実数。かつ正であるためには
2a+k >or= √K ( >or= は等しいかそれより大きいの記号代わり。）
√K>0であるから上式の両辺を２乗しても成立、
２乗して整理すると
8ak >or= 4、 つまりak >or= 1/2

a>0であるから、aで割れば　k >or=1/(2a)

よって
α+β= 2a+k >or= 2a+1/(2a)

f(a)=2a+1/(2a)　の最小値はa=1/2の時である（極小値を求めるかグラフを書けば解る）。
したがってα+β >or= 2
最小値(a=1/2)での k = 1

回答No.1

mister_moonlight

a＞0 という条件は“必ずしも”必要ないように思うんだが。。。。。？

αとβは平等だから、β≧α≧0　‥‥(1)　としても一般性を失わない。
2a＝mとすると　m＞0で　条件の方程式は　x＾2-(m+k)x+mk-1＝0　だから、解と係数から　α＋β＝m+k、αβ＝mk-1　‥‥(2)　
(m＋k)＾2-4mk＝(m-k)＾2＝(α＋β)＾2-4(αβ＋1)≧0　→　｜α-β｜≧2　‥‥(3)
(1)と(3)をαβ平面上に図示して、α＋β＝m+k　→　β＝-α＋(m+k)を動かすと　点(0、2)で最小。
この時、α＋β＝m+k＝2、αβ＝mk-1＝0より　m＝k＝1　→　2a＝k＝1。
以上から、最小値は　2　で、そのとき　(a、k)＝(1/2、1)。

どうも、すっきりしない問題だ。私の頭が“すっきり”していないのか。。。。。。ｗ