もう一問質問です‥

質問

平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、辺ＡＢをａ：１に内分する点をＰ、辺ＢＣをｂ：１に内分する点をＱとする。辺ＣＤ上の点Ｒおよび辺ＤＡ上の点ＳをそれぞれＰＲ//ＢＣ、ＳＱ//ＡＢとなるようにとり、↑ｘ＝↑ＢＰ、↑ｙ＝↑ＢＱとおく。

(１)五角形ＰＢＱＲＳの辺ＲＱ、ＳＰおよび対角線ＳＢ、ＲＢが表すベクトルは、↑ｘ,↑ｙを用いるとどのように表されるか。

(２)↑ＳＰ・↑ｘ＝↑ｘ・↑ｙ＝↑ｙ・↑ＲＱが成り立つとする。
このとき、↑ｘ・↑ｙ＝－□｜ｘ｜^2＝－○｜ｙ｜^2と表すとき。□,○に入る数はいくつか。

(３)ＲＱ//ＳＢおよびＳＰ//ＲＢが成り立つとする。
このときａ,ｂはそれぞれいくつか。

(４)　(２)と(３)の条件が同時に成り立つとき、｜ｙ｜／｜ｘ｜はいくつになるか。
また、cos∠ＰＢＱはいくつになるか。

(１)は自力で何とかできたのですが、(２)は(１)の値を代入して解いていけばいいのでしょうか。
明日中間テストなので焦っています‥よろしくお願いします。

回答No.1

postro · ベストアンサー

(２)は(１)の値を代入して解いていけばいいです。
↑ＳＰ・↑ｘ＝(-a↑ｘ-↑ｙ)・↑ｘ = -a|↑ｘ|^2-↑ｘ・↑ｙ =↑ｘ・↑ｙ
より　↑ｘ・↑ｙ = -(a/2)|↑ｘ|^2
↑ｙ・↑ＲＱ＝↑ｙ・(-↑ｘ-(1/b)↑ｙ) =-↑ｘ・↑ｙ -(1/b)|↑ｙ|^2 =↑ｘ・↑ｙ
より　↑ｘ・↑ｙ = -(1/2b)|↑ｙ|^2
となりますね。
(３)ＲＱ//ＳＢが成り立つということは実数ｋを用いて
k↑ＲＱ=↑ＳＢ とかける。↑ｘと↑ｙの係数をそれぞれ比較して
k=a+1 ,k/b=1　　∴b=a+1
同様にＳＰ//ＲＢから
ak=1 ,k=(b+1)/b　　∴a(b+1)=b
よって　a=(-1+√5)/2 ,b=(1+√5)/2
↑ｘ・↑ｙ = -(a/2)|↑ｘ|^2= -(1/2b)|↑ｙ|^2 より
｜ｙ｜^2／｜ｘ｜^2= (a/2)/(1/2b) = ab = {(-1+√5)/2}{(1+√5)/2} = 1
｜ｙ｜／｜ｘ｜ = 1
cos∠ＰＢＱ=↑ｘ・↑ｙ/｜ｙ｜｜ｘ｜=-(a/2)|↑ｘ|^2/｜ｙ｜｜ｘ｜=-(a/2)|↑ｘ|/｜ｙ｜=-a/2=(1-√5)/4
たしかめ算
cos∠ＰＢＱ=↑ｘ・↑ｙ/｜ｙ｜｜ｘ｜= -(1/2b)|↑ｙ|^2/｜ｙ｜｜ｘ｜= -(1/2b)|↑ｙ|/｜ｘ｜= -(1/2b)=-1/(1+√5)=(1-√5)/4
書き込むのに苦労しました。計算間違いなどあるかもしれません。

お礼

回答どうもありがとうございます！！
すごく助かりました‥先生に聞きに行ったのですが他の問題を聞いているうちに一番手ごわいのを聞きそびれてしまって(下校時間で)。
どうしようかと悩んでいたので丁寧な解法まで示していただき感謝しています♪

＞書き込むのに苦労しました。計算間違いなどあるかもしれません
その通りですよね‥(^^ゞ　わざわざありがとうございました。