積分の問題です

質問

∫[0,π] sinx/2-sin^2x dx　の解き方を教えてください

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足の訂正の
>sinx/(2-sinx)

この訂正も間違いで
sin(x)/(2-sin^2(x))
ではないですか？
そうであれば

∫[0,π] sin(x)/(2-sin^2(x)) dx
=∫[0,π] sin(x)/(1+cos^2(x)) dx
cos(x)=tとおくと
x:[0,π] → t:[1,-1],-sin(x)dx=dtなので
=∫[1,-1] -1/(1+t^2) dt
=∫[-1,1] 1/(1+t^2) dt
=2∫[0,1] 1/(1+t^2) dt　←　公式
=2[tan^-1(t)][0,1]
=2*π/4
=π/2
となります。

お礼

すみません。また間違えてました

丁寧に回答してくれてありがとうございます！

助かりました＾＾

回答No.2

info22_

被積分関数
>sinx/2-sin^2x
がこの書き方では回答者に正しく伝わらないです！

∫[0,π] sin(x)/2-sin^2(x) dx
なら
=1-(π/2)

∫[0,π] sin(x/2)-sin^2(x) dx
なら
=2-(π/2)

となります。

どちらでしょう？

お礼

回答ありがとうございます！

ほんとはsinx/(2-sinx)でした

これからはちゃんと入力します

回答No.1

spring135

倍角公式より

sin^2x =(1-cos2x)/2

∫[0,π] sin(x/2)-sin^2x dx

＝∫[0,π] [sin(x/2)-(1-cos(2x))/2]dx

=[0,π][-2cos(x/2)-(x-sin(2x)/2)/2]

=-2(0-1)-(π-0)/2+(0-0)/4

=2-π/2