三角形の内部の一点から各辺までの距離の和

質問

フェルマー点について考えていて思ったのですが、三角形の内部の一点から各辺までの距離の和を最小にする点って初等幾何的にはどうなりますか？とても気になっていて他のことが手につかないので困ってますにしました…

回答No.1

tetrahedron256 · ベストアンサー

たとえば各辺の長さが 2,3,4 の三角形があったとして, 三角形の内部の点からそれぞれの辺への距離を a, b, c, 三角形の面積を S とすると,
1/2*(2a+3b+4c)=S
ですから, 2a+3b+4c の値は一定であることがわかります
よって, この条件下で a+b+c を最小にすればいいことになり, それは a=b=0 の場合ですね.
このように, 一般に不等辺三角形の場合, 和が最小になるのは最長辺と向かいあっている頂点です. (これを「内部」というか微妙ですが, いわないのであればそのような点は存在しないことになります)

不等辺三角形でない場合は他にもそのような点が存在する可能性もあります (例えば正三角形ならどこに点をとっても和は一定).

お礼

確かにそうですね！だから問題にすらならない訳ですか…。よく分かりました。ありがとうございました。