空間版、直線Ｌとその上にない２点Ｆ，Ｇからの距離の和ＦＰ＋ＰＧが最小になるようなＬ上の点Ｐ

質問

ある平面があったとします。

直線Ｌの同じ側にある２点Ｆ，Ｇからの距離の和ＦＰ＋ＰＧが最小になるようなＬ上の点Ｐを求めよ．

という問題があります。
答は簡単に求めることができます．

点Ｇを直線Ｌに関して対称移動させＨとする．直線ＦＨと直線Ｌの交点が最短距離となる折り返し点Ｐである．この最適な点Ｐには線分ＦＰとＧＰがそれぞれＬとなす角が等しいという性質がある．

次に３次元空間があったとします。

直線Ｌとその上にない２点Ｆ，Ｇからの距離の和ＦＰ＋ＰＧが最小になるようなＬ上の点Ｐを求めよ．

平面の場合とは異なる考えがいると思いますが、
それはどのような点なのでしょうか？

回答No.6

info22 · ベストアンサー

#2,#3です。
図を書いて頂けば分かります。
A#2の(B)の方法での例題をあげておきます。
座標系の取り方ですが、簡単にする為に直線Lをy軸にとります。
F,Gの座標をF(3,1,-1),G(1,5,3)としましょう。
F,Gから直線L（y軸）に下した垂線の足をそれぞれA,Bとすると
A(3,0,-1),B(1,0,3)
(→AF)=(3,0,-1)
これをy軸正方向に対してLのまわりに角度θだけ右回転させたベクトルを(→AH')とすると
(→AH')=(3cosθ+sinθ,0,cosθ-3sinθ)
これのベクトルが(→GB)=(-1,0,-3)と平行になるようにθを定めれば
点H'は点Fと直線Lを含む平面上に乗り、点Fと点H'は直線Lを挟んで互いに反対側に位置する。
(→GB)//(→AH')から
(3cosθ+sinθ)/(-1)=(cosθ-3sinθ)/(-3)=k(>0)
これらから
k=1,　cosθ=-3/5, sinθ=4/5
したがって
(→AH')=(-9/5+4/5,0,-3/5-12/5)=(-1,0,-3)
H'=A(0,1,0)+(-1,0,-3)=(-1,1,-3)
(→GH')=(-2,-4,-6)
直線GH'と直線Ｌの交点P(X,Y,Z)とすると
直線GH'上にあることから(X,Y,Z)=(1,5,3)+t(-2,-4,-6)
直線L上にあることから　(X,Y,Z)=(0,1,0)+s(0,4,0)
これらを解くと
s=t=1/2,P(X,Y,Z)=(0,3,0)
最短距離=|GH'|=√(4+16+36)=2√14
とでて来ます。

図を描きながら追ってみてください。
理解に役立つかと思います。

回答No.5

kumipapa

点Ｇから直線Ｌ上の任意の点との距離は、点Ｇを直線Ｌの周りに回転移動させても変化しません。
従って、直線Ｌ上の点Ｐと、点Ｆ，Ｇとの距離の和ＦＰ＋ＧＰを最小にする点Ｐを求めるにあたっては、点ＦやＧを直線Ｌの周りに回転移動させて考えても良いのです。
ですから、点Ｇを直線Ｌの周りに回転移動させた点をＧ’とするとき、直線Ｌと線分ＦＧがねじれの位置にあったとしても、点Ｇ’を適当に定める（Ｇを適当に回転させる）ことにより、直線Ｌと点Ｆ、点Ｇ’が同一平面上にあるようにでき、点Ｐはこの平面上のＬ，Ｆ，Ｇ’から求める事ができます。
つまり、この問題は、点Ｆ，Ｇが直線Ｌとねじれの位置関係にあっても、平面の問題に帰着します。
＃１さん（の途中まで）、＃２さん、＃４さんのご回答の概略をまとめるとこんな感じかなと思います。詳しくは、＃２さんの解答をきちんと読んで下さい。

＞　直線Ｌと直線ＦＧが交わる場合は、その交点をＰとすればよいと思います。
＞　直線Ｌと直線ＦＧが平行な場合は、平面の場合に帰着できます。
＞　問題なのが、直線Ｌと直線ＦＧがねじれの位置にある場合。
えっと、いろいろと問題はあるのですが、こまかくチャチャを入れると、
１段目）直線ＦＧではなく線分ＦＧが交わる場合のみ交点がＰとなる。
２段目）直線Ｌと直線ＦＧが平行である必要はなく、同一平面上にあれば充分。
３段目）問題なのは、回答者の回答をちゃんと読んでいない質問者にありますよ。＃２さんの回答をきちんと読んでください。＃２さんは、ご丁寧に、
＞　2通りのいずれかで平面上の問題に帰させればいい
と言われているでしょう。これがねじれの位置にある場合の回答です。

＞＞　その事実と今回の問題が関係あるのか、ないのか
まったく無関係、きれいさっぱり無関係、考える間もなく無関係。こういう発想、直感としても行き過ぎていると思いますよ。ちょっと図を書けば分かる事ですから。というか、「その事実」をそもそもちゃんと理解されていないのでは？

回答No.4

ninigi

私が勘違いしてたらゴメンナサイ。

直線はＬとＦを含む平面と、ＬとＧを含む平面の２平面内しか動かないので、簡単に平面の問題に帰着できると思います。

ここに一枚の紙があります。
この紙を、まず直線Ｌと点Ｆを含むようにあてがいます。次に、紙をＬに沿って、折った先の面が点Ｇを通るように折り曲げます。
Ｆ，Ｇ，Ｌをこの紙に写し取ってＦ’、Ｇ’、Ｌ’とすれば、後は紙の上で平面の時と同じように解けます。
どうでしょうか？

回答No.3

info22

>その事実と今回の問題が関係あるのか、ないのか、どうなのでしょか？
最短距離問題とはまったく関係ないですね。
図を描けば明らかでしょう。
こじつけて言えば平面や直線の法線ベクトルや方向ベクトルを利用することは共通ですが…。

まずA#2で回答したことを確認して、やって確認をして頂けたでしょうか？
せっかく回答しても読んで理解して頂けなければ回答する意味がありません。やってみた事を補足に書いて頂けないですか？

回答No.2

info22

平面の場合は対称移動させる面と直線Lが同じ面にありますね。
三次元空間では、一般的に、平面FPGH（点F,P,G,Hがその上にある平面）上に直線Lがありませんね。

三次元空間では、
（A)平面の場合に相当する対称移動させる平面PFGH(4点P,F,G,Hがその平面状にある平面)を求めるやり方
（B)平面の場合に相当する対称移動させる点H'を求めるやり方
（H'は平面PFG(3点P,F,Gがその平面上にある平面)上にあるように定める。
の2通りのいずれかで平面上の問題に帰させればいいと思います。

（B)のやり方の場合は点F,Gから直線Lに下した垂線の足をそれぞれA,Bとするとベクトル(→FA)とベクトル(→BG)の成す角θだけ点Gを直線Lの周りに回転移動しした点をH’とすればいいですね。そうすれば点P,F,G,H'が同一平面上に乗りますから、線分FH'とLの交点をPとすればいいですね。

お礼

ありがとうございます。しかしまだよくわかっていません。

３次元空間があったとします。
直線Ｌとその上にない２点Ｆ，Ｇからの距離の和ＦＰ＋ＰＧが最小になるようなＬ上の点Ｐを求めよ．

直線Ｌと直線ＦＧが交わる場合は、その交点をＰとすればよいと思います。
直線Ｌと直線ＦＧが平行な場合は、平面の場合に帰着できます。
問題なのが、直線Ｌと直線ＦＧがねじれの位置にある場合。

一般にねじれの位置にある２本の直線があると、それらの上にある点どうしを結ぶ最短線分は、もとの直線に直交する。これは有名な事実と思います。

その事実と今回の問題が関係あるのか、ないのか、どうなのでしょか？

回答No.1

age_momo

ぱっと見、点Gから直線Lにおろした垂線の足Hから線分GHの長さを変えずに
直線Lを軸に回転させてできる、直線Lに垂直で距離がHの集合(円)が点F,直線Lを含む平面と
交わる点が平面でのG',G''になると思います。

平面での考え方が理解できているのなら、その点Pを決めた後、直線Lを
軸に回転させてみるとFからPを通ることで最小になるGの集合が得られます。
Fから直線Lへの垂線の足をMとしてΔFKPとΔGHPは相似な三角形であり、
それが最短になります。この関係は空間でも変わりません。
(ΔFKPとΔGHPを別々に直線Lを軸にして回転させてみれば理解できると思います)

お礼

ありがとうございます。しかしまだよくわかっていません。

３次元空間があったとします。
直線Ｌとその上にない２点Ｆ，Ｇからの距離の和ＦＰ＋ＰＧが最小になるようなＬ上の点Ｐを求めよ．

直線Ｌと直線ＦＧが交わる場合は、その交点をＰとすればよいと思います。
直線Ｌと直線ＦＧが平行な場合は、平面の場合に帰着できます。
問題なのが、直線Ｌと直線ＦＧがねじれの位置にある場合。

一般にねじれの位置にある２本の直線があると、それらの上にある点どうしを結ぶ最短線分は、もとの直線に直交する。これは有名な事実と思います。

その事実と今回の問題が関係あるのか、ないのか、どうなのでしょか？