正三角形の内部の点

質問

・1辺の長さが２の正三角形の内部に5個の点を取るときに
　2点間の距離が１より小さい2点が必ず存在することの証明

まず4点で考えてみました。
4点を１辺１のひし形に並べるとどのように角度をかえても頂点が正三角形の線上にきてしまうために内部に４点をうつことはできません。

次に　正三角錐を上からみた形で考えてみました。
（真ん中に１点おきその点を中心にかかれた半径１の円周上に均等に３点をおいた形）
こちらは正三角形の中に置くことができました。

ここからもう１点をうつのはムリだという方針でいこうと思うのですが、ここで詰まってしまいました。方針が間違っているのか、ここまでは悪くなくこの後良いやり方があるのか、アドバイスをいただけると助かります。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

部屋割り論法ではないですか？
3つの頂点から半径1の円を描くと4つの部屋に分かれます。
この4つの部屋はそれぞれにおいてどこに点をとっても
同じ部屋にいる2点は距離が1未満です。
(円周上の点は全て真ん中の部屋に含まれると考える)

この4つの部屋に5点を割り振るので少なくとも2点は同じ
部屋に入ることになります。

お礼

ありがとうございました～。
なるほど、そうですよね。目からウロコの解法でした。
（頂点から半径１の円を描く所までは１度やったのですが）

助かりました。

回答No.2

tecchan22

一辺１の正三角形４つに分割するといいですよ。
あとは＃１と同じです。

お礼

ありがとうございました。

最初　意味が分からなくて（ごめんなさい）　
「ん？」という感じだったのですが、確かにこちらの方がシンプルで分かりやすいですね。

勉強になりました。