楕円状の点と2焦点の距離の和

質問

楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1上の点と2焦点の距離の和は一定であることを以下の方針で示せ。ただしa>bと仮定し、e=√(1-b^2/a^2)とおく。
(1)楕円状の点(acosθ,bsinθ)と2焦点の距離の和Lを
　a,b,e,θを用いてあらわせ。
(2)Lを簡単にせよ。

うなっています・・・。そもそも「２焦点からの距離の和が一定である点の軌跡を楕円という」のではないでしょうか・・・？ああどうしよう。

回答No.3

noname#24477 · ベストアンサー

補足質問に対する回答

先にsinθの変換をしてください。
するとb^2が１つ消えるはず。（a^2が残る。）

その後cos^2でくくると
（a^2-b^2)(cosθ)^2-２acosθ√(a^2-b^2)＋a^2
ここで(　)^2になって√がはずせます。絶対値になるがどちらが大きいか場合分けは考えてください。

a^2-b^2を置き換えれば見通しがよくなる。

お礼

解けました！ありがとうございました！！すっきりしました！！！

回答No.2

noname#24477

焦点（±√（a^2-b^2)，０）
２焦点からの距離の和
√｛（acosθ－√（a^2-b^2)）^2＋(bsinθ)^2｝
　　＋√｛（acosθ＋√（a^2-b^2)）^2＋(bsinθ)^2｝

＝√｛(acosθ)^2－２acosθ√(a^2-b^2)＋(a^2-b^2)＋(bsinθ)^2｝
　　　＋√｛(acosθ)^2＋２acosθ√(a^2-b^2)＋(a^2-b^2)＋(bsinθ)^2｝

ここで　(sinθ)^2＝１－(cosθ)^2　に置き換えます。
その後cos^2でくくる。

ここでさらに
　e=√(1-b^2/a^2)＝√｛(a^2-b^2)/a^2｝より
√(a^2-b^2)＝ae　
(a^2-b^2)＝(ae)^2
を使うと（eを使う必要もなく、別に使わなくてもいいが）・・・・
√の中全体が（　)^2になって√がはずせます。
以下省略

補足

(1)は
L=√{(acosθ)^2-2a^2*ecosθ+a^2*e^2-(bsinθ)^2}
+√{(acosθ)^2+2a^2*ecosθ+a^2*e^2-(bsinθ)^2}
　で、良いのでしょうか・・・。

(2)は(1)の(bsinθ)^2の部分を(sinθ)^2＝１－(cosθ)^2
　で置き換え、整理するということでしょうか。

回答No.1

Kuro001

「楕円である」←→「２焦点からの距離の我が一定である」
つまり、この２条件は必要十分条件であり、そのうち十分条件を証明せよ、というのがこの問題です。
三平方の定理や加法定理が証明可能なように、「公理」と呼ばれるもの以外はすべて証明可能なのですよ。

a>bなので、焦点の座標は、{±√(a^2-b^2),0}と表されるので、実際に点P(acosθ,bsinθ)と焦点とのの距離を計算してみましょう。
(acosθ)^2+(bsinθ)^2=1 とするのがポイント

お礼

ありがとうございます。がんばって距離を計算してみます。苦手な幾何学、がんばります。