楕円上の点と2焦点の距離の和Lを簡単にする方法

質問

以前、似たような質問をされた方(2004.7.30)がいたので、その続きになってしまうのですが、

楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1上の点と2焦点の距離の和は一定であることを以下の方針で示せ。ただしa>bと仮定し、e=√(1-b^2/a^2)とおく。
(1)楕円状の点(acosθ,bsinθ)と2焦点の距離の和Lを
　a,b,e,θを用いて表せ。
　※これは解けました。
　　答えが、L=2aecosθになりました。
　　　　　（L=2cosθ√(a^2-b^2）)

(2)Lを簡単にせよ。
　(ヒント：L^2の根号を外すことによってθを消去できる。)
…と書いてあったので、とりあえず二乗してみたのですが、θを消去する方法がわかりません。
（頭が固いみたいです…）

わかる方がいらっしゃいましたら、ヒント（ヒントのヒントになっちゃいますけど…）を教えて頂きたいです。宜しくお願いします。

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

おしい。。。

問１は根号を外す前の形のままでいいと思います。
（因数分解する前の形）
このやり方で根号を外すなら±に気をつけて下さい。
明らかにa>cosθ√(a^2-b^2)です。
L=cosθ√(a^2-b^2)-a+cosθ√(a^2-b^2)+a
ではなく、
L=a-cosθ√(a^2-b^2)+cosθ√(a^2-b^2)+a
=2a
で楕円の焦点距離になります。

お礼

何度もすみません。
根号を外す前の形のLを問1の答えにしていいんですよね。
そして、問２の答えがL=2aってことですもんね。
でも、それってL^2する必要ないってことなんですかね？
とりあえず、理解できました！
どうもありがとうざいました、age_momoさん！

補足

あ！確かにそうですね。
ですが、L=2aだとしたら、
次の問題で両辺を二乗する意味がなくなっちゃいませんか？

回答No.2

age_momo

#1です。式変形かなり手こずりますが何とか簡単にできます。
まず、焦点の座標は（±ae,0）というのは分かりますね。
その2点と(aSinθ,bSinθ)の距離の和を求めるとそのままでは簡単にはできない式が出来上がります。
問２ではL^2で式を簡単にしろとのこと。指示に従って変形すると自然とθ（この場合はCosθ）が消えます。

補足

焦点の座標（±ae,0）は（√(a^2-b^2)）と（－√(a^2-b^2)）で、表せますよね。
よって、
L=√{(acosθ-√(a^2-b^2))^2+(bsinθ)^2}
+√{(acosθ+√(a^2-b^2))^2+(bsinθ)^2}
となりました。
これを展開して、sin^2θ=1-cos^2θを代入してまとめると、
L=√{cos^2θ(a^2-b^2)+a^2-2acosθ√(a^2-b^2)}
　+√{cos^2θ(a^2-b^2)+a^2+2acosθ√(a^2-b^2)}
これを因数分解すると、
L=【√{cosθ√(a^2-b^2)-a}】^2
　+【√{cosθ√(a^2-b^2)+a}】^2
L=cosθ√(a^2-b^2)-a+cosθ√(a^2-b^2)+a
=2cosθ√(a^2-b^2)
となりました。
また、ae=√(a^2-b^2)になるので、
L=2ae*cosθ
という風になりました。

ど…どうでしょうか？

回答No.1

age_momo

ダメです。問１を考え直してください。計算してませんが明らかに答えが間違ってます。楕円が決まるとa,eとも定数です。この式では明らかにLはθによって変化します。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
ということは、１の答えからしてもう間違っているってことですね…。すみません。
もう一度解きなおしてから答えを補足で書き込みます。