微分方程式のモデルの問題です

質問

微分方程式のモデルの問題です。
答えを持っていないので詳しい方解答・解説をおねがいします。

個人に対して商品の広告を行ってからt時間経過した時の購買意欲をy=y(t)と表す。これが微分方程式dy/dt=-kyを満たし（kは正の定数）、広告は購買意欲を現状よりもy0だけ高めることが分かっている
1)最初の広告をt=0で行った直後の購買意欲はy0である。この時上記の微分方程式を解け。
2)2度目以降の広告は規定時間Tごとに行う。2度めの広告直後の購買意欲はy0+y0exp(-t)である。3度めの広告直後の購買意欲を求めよ。
3)n＋1度めの広告直後の購買意欲を求めよ。その際、等比級数の公式を用いて簡潔な形にまとめよ。
4)3）の結果で、n→∞の時の収束先を求めよ。

1)だけ解いてみましたがy=－kyt＋y0でよろしいでしょうか？
続きをおねがいします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

1)dy/dt=-ky

dy/y=-kdt

積分して

log(y)=-kt+c'

y=c・exp(-kt)

t=0でy=y0

これより

c=y0

よって

y=y0・exp(-kt)

2)

>2度めの広告直後の購買意欲はy0+y0exp(-t)である

間違いです。正しくはy0+y0exp(-T)

3度めの広告直後の購買意欲は

y0+y0exp(-T)+y0exp(-2T)

3)y0+y0exp(-T)+y0exp(-2T)+...+y0exp(-nT)=y0[1-exp(-(n+1)T)]/[1-exp(-T)]

4)lim(n→∞)exp(-(n+1)T)=0なので

lim(n→∞)y0[1-exp(-(n+1)T)]/[1-exp(-T)]=y0/[1-exp(-T)]

お礼

ありがとうございます。
非常にわかりやすかったです。

＞正しくはy0+y0exp(-T)
ここはタイプミスでした。
申し訳ありませんでした。