円を境界線とする領域

質問

・不等式(x-1)^2 +(y-2)^2 <4の表す領域を図示しなさい。

この問題でなぜ円の中心の座標が(1,2)になるのかが分かりません。

簡単なことだったような気もするのですが、思い出せないので質問しました。

回答お願いします。

回答No.4

alice_44

二点 (x,y) と (a,b) の間の距離を r とすると、
(x-a)2乗 + (y-b)2乗 = r2乗 が成り立つからです。
その理由は三平方の定理で、二点を結ぶ線分を斜辺とし
他の二辺が座標軸に平行な直角三角形を描いて、
ピタゴラスの定理を当てはめれば解ります。
(1,2) からの距離が 2 以下である (x,y) は
(x-1)2乗 + (y-2)2乗 = r2乗 ＜ 4 になります。
だから、(1,2) がこの円の中心です。
「円」がどのように定義される図形だったか
思い出しながら、上の式を眺めて考えましょう。

回答No.3

rnakamra

点P(x,y)と点A(a,b)の2点間の距離PAは
PA=√{(x-a)^2+(y-b)^2}
となります。この式を2乗すると
PA^2=(x-a)^2+(y-b)^2

このことから元の式の左辺
(x-1)^2+(y-2)^2
は(x,y)と(1,2)の間の距離の2乗を表しているということがわかります。

(x-1)^2+(y-2)^2=4
の方程式は(x,y)と(1,2)の間の距離が2(=√4)に等しいということを表し、(x,y)の表す軌跡は点(1,2)を中心とした半径2の円となります。

回答No.2

noname#190065

一般に、半径rの円の方程式　(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2の中心の座標は、(a, b)だからです。円の公式で、ご確認ください。

「思い出せないので」とありますので、社会人の方でしょうか。それならば、「公式集」を手元に置いておくと便利です。ちなみに私は、「モノグラフ24.公式集」（科学振興社）を愛用しています。

回答No.1

info22_

原点(0,0)を中心とする半径2の円の方程式は
　x^2+y^2=2^2
この円を右に1,上に2平行移動すると
x→x-1, y→y-2
とおけばいいから
　(x-1)^2+(y-2)^2=4 …(※)
となります。
当然、円の中心も右に1,上に2平行移動し移動後の円の中心は(1,2)です。半径は変わりません。
すなわち(※)は
半径2,中心(1,2)の円です。
円の方程式(※)の等号「=」を不等号「<」に交換すれば、
　(x-1)^2+(y-2)^2＜4 …(★)
となりますが、これを満たす領域（(x,y)の存在領域）は
円の内部領域となります。

なお、内部領域かは、円内の点（円の中心を含む）を(★)に代入して不等式が成り立つことで確認できます。円外の点を(★)に代入すると不等式が成立しないので不等式の領域ではないことが確認できるでしょう。

お分かりになりましたでしょうか？