連立不等式の表す領域について

質問

お世話になっております。高校数学、座標単元から質問です。

不等式(x-2y+6)^2(x^2+y^2-2x-6y)＞0 の表す領域を求めたいのですが、

三つの数A、B、Cの積の不等式ABC＞0 は四つに場合分け出来るはずですよね。(場合分けの式は省略させていただきます…)

ここから与えられた不等式の表す領域は、四つの連立不等式の表す領域α、β、γ、δの和集合になるだろう、と考えたら、多分導かれる領域は、境界線を除く座標平面全体になるだろう。……

としたら見事に間違えてしまいました。
どのように考えるのが良いでしょうか。宜しくお願い致します。

回答No.1

noname#199771 · ベストアンサー

2乗×ナニカ>0という形になっています。

2乗の部分は常に≧0なので、
「2乗の中身≠0」かつ「ナニカ>0」
と考えるべきです。

3つの積などとわざわざ複雑化せず、単純化しましょう。

「ナニカ」はx,yについての2次式なので平方完成して
「ナニカ>0」が円の外側（境界含まず）を表すことが
わかります。

「2乗の中身≠0」は2乗の中身=0が表す直線以外。
ということで、その円と直線の交点の有無を調べて
整理すれば終わりです。

お礼

完璧に抜けてました(恥)。

すっきりしました。ありがとうございました。