点の軌跡の問題

質問

一辺 2cm の正方形の中を 1辺 1cm の正三角形が内接した状態で回転するとき、
また元の状態に戻ったときまでに移動した点 Aの軌跡の距離を求めよ。

という問題です。点Aはどんな軌跡を描くのでしょうか。
想像が付きません...

この問題の解き方をご存知の方いらっしゃいましたら、ご指導お願いします。

回答No.4

watecolor1969 · ベストアンサー

すみません、私も少し勘違いしてましたので
改めて、解答をアップします。

正三角形の各頂点を図Aのように 点A , 点B , 点Cとおく。

正三角形が正方形の内周を一回転して最初の位置に戻った時に
点Aは点Bの位置に来る。
同様に点Bは点Cの位置に、点Cは点Aの位置にくる。

このことから、３周したら点Aが元の位置に戻ることになる。

このときの点Aの軌跡の長さは
正三角形が正方形の内周を一回転した時の
点Aの軌跡の長さと点Bの軌跡の長さ、点Cの軌跡の長さ
を足した値になる。

従って、図A、図B、図Cより

(点Aの軌跡の長さ) = 2π(3×120°+ 2×30°)/360°
(点Bの軌跡の長さ) = 2π(3×120°+ 3×30°)/360°
(点Cの軌跡の長さ) = 2π(2×120°+ 3×30°)/360°

であるからこれらを足して

(題意の点Aの軌跡の長さ) = 2π(8×150°)/360°= 20π/3 (cm)

図A（点Aの軌跡）

お礼

ご丁寧に図まで付けていただきまして、本当にありがとうございました。

おかげさまで運動の軌跡についてしっかりとイメージすることができました。
本当に助かりました。

回答No.7

watecolor1969

何度もすいません。
ANo.4の中で不適切な表現があったので修正します。

誤）正三角形が正方形の内周を一回転して

正）正三角形が正方形の内周を回転しながら一周して

以上修正お願い致します。

補）図も見にくくて申し訳ございません。

回答No.6

watecolor1969

図C（点Cの軌跡）

回答No.5

watecolor1969

図B（点Bの軌跡）

回答No.3

watecolor1969

答えは　8π/3(cm)　ではないですか？

お礼

ありがとうございます。

すみません。答えは存じておりません。

できればwatecolor1969さんの具体的なやり方も聞かせていただけないでしょう。

回答No.2

spring135

>内接した状態で回転するとき

意味不明です。一つの頂点が正方形の角に当たってからどうなるのですか。
角を中心に３０度回転するというのは「内接した状態」から逸脱しますが
どう考えるのですか。

お礼

ありがとうございます。

確かに'’内接した状態で回転する’’というのは少し微妙な表現ですね。
実は私もうまくイメージできていないのです。

回答No.1

alice_44

もとの状態に戻ったのなら、移動した距離は 0。
計算するまでもないです。

お礼

ありがとうございます。

たぶん、道のりの長さについて聞いているのではないかと思います...