1辺の長さが2である正方形ABCDがある。AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=16を満たす点Pの軌跡を求めよ。

質問

クリックありがとうございます(∩´∀｀)∩

★1辺の長さが2である正方形ABCDがある。AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=16を満たす点Pの軌跡を求めよ。

この問題について説明をお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

４点の座標を(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)とする。
点P(x,y)の条件式は、
(x-1)^2+(y-1)^2+(x+1)^2+(y-1)^2+(x+1)^2+(y+1)^2+(x-1)^2+(y+1)^2=16
これを整理すると、
x^2+y^2=2
これは、正方形の４点を通る円です。

お礼

回答ありがとうございます＾＾
とてもよく分かりました！

回答No.3

-somebody-

あー
ごめんなさい。
No.2での私の回答は全部ベクトルです。
本当は断りを入れるべきでしたね。

もしベクトルについてご存じなければ軽くスルーしてください。。。

ベクトルの場合
一般に
→ → →
AP=AO+OP
が成立する
という性質があるのです。

AP・(AP-AC)=0
この記号も
ただの掛け算ではなく
ベクトルの内積によるものです。

→書くのが面倒だったので書かなかったのですが
ベクトルであるという注釈をわすれていました。

ごめんなさい。

お礼

いえいえ。説明不足だったのは私のほうです(・∀・；)
ベクトルについて習ったら、また見直させてもらいます＾＾
ありがとうございました！！

回答No.2

-somebody-

えーっと
方針だけ書いておきますね。
とりあえず座標を設定しましょう。
A(1,1)
B(-1,1)
C(-1,-1)
D(1,-1)
とします。

で
AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=16を
Aを基準にそろえてやることを考えます。

AP^2+(BA+AP)^2+(CA+AP)^2+(DA+AP)^2=16
展開して整理すると
4AP^2-2(AB+AC+AD)・AP=0
AB+AC+AD=2AC=(-4,-4)
AP・(AP-AC)=0
なので
点Pの座標を(x,y)としてやると
(x+1)(x-1)+(y+1)(y-1)=0
x^2+y^2=2
が導けると思います。

お礼

回答ありがとうございます＾＾

＞AP^2+(BA+AP)^2+(CA+AP)^2+(DA+AP)^2=16
この式がよく分からないのですが…。
なぜBP^2は(BA+AP)^2になるのでしょうか？

お時間あれば補足説明お願いします！