絶対値付積分

質問

y=∫|2t-x|dt (from 0 to 1)　について作図する問題について
y=|∫(2t-x)dt| (from 0 to 1) との違いが生じる理由を教えて下さい。

ty平面を想定すると結果が変わってくるのですが、普通に積分してダメな理由がよく分かりません。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

代数的というのが、
どういう計算を意図しているのかは判らないけど…

∫|2t-x|dt すなわち | ∫|2t-x|dt | と、
| ∫(2t-x)dt | との差異は、
被積分関数に絶対値がつけてあるか否かです。

|2t-x|dt = (t ≧ x/2 のとき)　2t-x,
　　　　　　　(t ＜ x/2 のとき)　-(2t-x)
ですから、
これを積分した ∫|2t-x|dt と、
0 ≦ t ≦ 1 全域で被積分関数が 2t-x である
∫(2t-x)dt とは、違いますね？

最後に絶対値をとって
| ∫|2t-x|dt |, | ∫(2t-x)dt | とする部分は
共通です。

お礼

なるほど。非常によくわかりました。
∫|f(x)|dxの知識のせいで混乱してしまったようです(それともそれはそれで異なりますが…)。

回答No.2

info22_

y=∫(t:0→1)|2t-x|dt
x≦0の時　0≦t≦1　で　2t-x≧0であるから
　y=∫(t:0→1)(2t-x)dt=[t^2-xt](t:0→1)=1-x
0≦x≦2の時
　0≦x/2≦t≦1の時 2t-x≧0
　0≦t<x/2≦1の時　2t-x<0
であるから
　y=∫(t:0→x/2)(x-2t)dt+∫(t:x/2→1)(2t-x)dt
　 =[xt-t^2](t:0→x/2)+[t^2-xt}(t:x/2→1)
　 =x^2/4 +1-x-x^2/4+x^2/2=1-x+(1/2)x^2
x>2の時 2t-x<0であるから
　y=∫(t:0→1) (x-2t)dt=[xt-t^2](t:0→1)
　 =x-1
以上xの範囲を分けてyのグラフを描くと添付図のようになります。

y=∫|2t-x|dt (from 0 to 1)　
これは非負関数|2t-x|(≧0)の積分なのに対し
y=|∫(2t-x)dt| (from 0 to 1)
の方は
　正負の値をとりうる関数(2t-x)の積分は、負の範囲の積分と正の範囲の積分が打ち消しあうので、積分範囲全区間に渡る積分では、非負関数|2t-x|の積分より小さくなります。つまり
　∫(2t-x)dt≦∫|2t-x|dt
となります。
この絶対値をとっても
　|∫(2t-x)dt|≦|(∫|2t-x|dt)|=∫|2t-x|dt
大小関係は変わりません。
等号が成立する場合は、
(2t-x)≧0の範囲内に積分範囲が収まっている場合
または
(2t-x)f≦0の範囲内に積分範囲が収まっている場合
に限られます。

お礼

分かりやすい説明、ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

作図してみたんでしょう？

∫|2t-x|dt (from 0 to 1) は、
y=2t-x と y =0 と t=0 と t=1 で囲まれた部分の面積で、

∫(2t-x)dt (from 0 to 1) だと、
t 軸で分けて y 軸正方向の面積は ＋、 y 軸負方向の面積は ー
と符号をつけて足したものになります。

|∫(2t-x)dt| (from 0 to 1) は、
∫(2t-x)dt (from 0 to 1) の値の絶対値だから、
正面積と負面積の相殺をした後に、符号を取り去ったものですね。

それぞれを混同せず、
このように、普通に積分すればいいんですよ。

補足

意味を考えればそのとおりなのですが、意味を考えずに純粋に代数的計算をしていく場合、どこで差異が出るのかはっきりしないのではないか、という疑問です。