積分

質問

∫2ｔ√（a^2-t^2）dt[y,a]の積分のとき方を教えて下さい。tをasinθとしてみたんですが、つまずきました。部分積分もややこしくなって合っているかわかりません。

回答No.2

postro · ベストアンサー

a^2-t^2=u とおいて置換積分するのがいいと思います。
-2tdt=du より
∫2ｔ√（a^2-t^2）dt
=-∫√udu
です

回答No.4

debut

t=asinθとおくと、dt=acosθdθ
√(a^2-t^2)=√{a^2(1-sin^2θ)}=acosθなので、
∫2ｔ√（a^2-t^2）dt=2a^2∫sinθcos^2θdθ
で、
∫sinθcos^2θdθは、部分積分で、
=-cosθcos^2θ+∫cosθ(-2sinθcosθ)dθ
=-cos^3θ-2∫sinθcos^2θdθ
となることから、移項して整理すれば∫sinθcos^2θdθ=(-1/3)cos^3θ
とできますが、積分範囲にarcsin(y/a)とか出てきて大変。

No2 の方の方法がよいと思います。

回答No.3

maekomaeko

t = asinθとすると()の中は
(a^2-t^2) = (a^2-a^2sin^2θ)
　= a^2(1-sin^2θ)
　= a^2×cos^2θ(∵sin^2θ+cos^2θ=1)
よって√の中はacosθ、被積分関数は
2t√(a^2-t^2)=2asinθacosθ
　=a^2×sin(2θ)　(∵加法定理)
後は変数変換によって積分区間がかわることに
注意して計算するだけです。

回答No.1

bad-boys

t=asinθ・・・(1)よりdt=acosθdθ・・・(2)
(1)と(2)を与式に代入すれば、あとはあなたが計算するだけです