積分の質問です

質問

x,yが正のとき、∫(1→x)dt/t+∫(1→y)dt/t=∫(1→xy)dt/t　を図形的に示すにはどうすればよいか教えてください。もちろん定積分の和についての基本公式は使って良いものとします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

∫(1→xy)dt/t=∫(1→x)dt/t+∫(x→xy)dt/t
=∫(1→x)dt/t+∫(t/x:1→y)d(t/x)/(t/x)
=∫(1→x)dt/t+∫(1→y)dt'/t'
ということは
∫(1→y)dt/t=∫(x→xy)dt/t
ということです。
1/tの区間(1→y)の面積と
1/tの区間(x→xy)の面積（ただしx>1）
が等しいということです。

1/tの区間(1→xy)の面積を区間(1→x)と区間(x→xy)の２つに分割し
区間(x→xy)の面積と区間(1→y)の面積が等しい。
つまり、1/tのグラフを横にx倍、縦に1/x倍したもので面積は同じという図を描いて示せばいいかと思います。

お礼

「1/tのグラフを横にx倍、縦に1/x倍したもので面積は同じ」
つまり、単純に考えれば面積はx*(1/x)=1 倍で同じになるということですね。ありがとうございました。

回答No.1

proto

図形的に示すという意味がよく解りませんが、
　　∫[1→y]dt/t = ∫[x→xy]dt/t
を示すことさえできれば、ほぼ証明終了でしょう。
積分範囲がうまく対応するようにtを変数変換してやればすぐに示せます。

お礼

s=xt と置換したらすぐできました。でも、「図形的に」というところが引っ掛かっています。f(t)=1/t のグラフを利用してうまく説明できないかなと思います。とりあえず、ありがとうございました。