定積分

質問

∫[-∞→∞]{1/(e^x+e^(-x))}dx

の解き方を教えて下さい。
解は、π/2です。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

I=∫[-∞→∞]{1/(e^x+e^(-x))}dx

y=e^xとすると

dy/dx=e^x=y

dx=dy/y

x:[-∞→∞]はy:[0→∞]

I=∫[0→∞]{1/(y+1/y)}dy/y=∫[0→∞]{1/(y^2+1)}dy

y=tantとおく。

1/(y^2+1)=cos^2t

dy/dt=1/cos^2t

y:[0→∞]はt::[0→π/2]

I=∫[0→π/2]{cos^2t/cos^2t}dt=∫[0→π/2]{1}dt=[t][0→π/2]=π/2

お礼

ありがとうございます。
tantと置くことまで頭が回りませんでした^_^;

回答No.2

info22_

∫[-∞→∞]{1/(e^x+e^(-x))}dx
=∫[-∞→∞]{e^x/((e^x)^2+1)}dx
=∫[-∞→∞]{1/((e^x)^2+1)}d(e^x)
合成関数の積分公式と公式∫dx/(1+x^2)=tan^-1(x)+C を用いて
=[tan^(-1) (e^x)][-∞→∞]
=(π/2)-0
=π/2

お礼

ありがとうございます。
このように置き換えればいいんですね！