積分

質問

非負整数n=0,1,2...に対しI_n = ∫[0→∞]　(x^n) * (e^(-x^2)) dxとおく。このとき

(1)I_1を求めよ
(2)(I_0)^2を計算し、I_0を求めよ

とあり、(1)すら解けなくて困っています。

I_1 = ∫[0→∞]　x * (e^(-x^2))dx

なので部分積分しようと思い

u' = e^(-x^2), v = x

とおいてみました。
v' = 1はすぐに分かりますが、

u =　∫e^(-x^2)dx

が分かりません。というよりも、uがすぐにとけるのならばわざわざ
(2)でI_0(=∫[0→∞]e^(-x^2)dx)を(I_0)^2を利用して解く必要もないので
方向性自体間違っているような気もします。

どうやって解けばいいのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

(1)
I_1 = ∫[0→∞]　x * (e^(-x^2))dx
=∫[0→∞] (-1/2)(e^(-x^2))'dx
= (-1/2)[(e^(-x^2)] [0→∞]
= (-1/2)[0-1]=1/2

(2)
次の不定積分は初等関数の範囲で積分は表現できないことが明らかになっています。（数値積分は可能）
u =　∫e^(-x^2)dx
は求められません。

＞(I_0)^2を利用して解く必要もないの
I_0は
(I_0)^2を利用しない方法では求めることは不可能です。

この積分は以下のように計算します。
(I_0)^2=(∫[0→∞]e^(-x^2)dx)(∫[0→∞]e^(-y^2)dy)
=∫[0→∞]∫[0→∞]e^(-x^2-y^2)dxdy
x=rcosθ,y=rsinθとおくと
x^2+y^2=r^2,dxdy=rdθdrであるから
(I_0)^2=∫[0→π/2]dθ∫[0→∞]re^(-r^2)dr
=(π/2)∫[0→∞]re^(-r^2)dr=(π/2)I_1
=(π/2)(1/2)=π/4

お礼

回答ありがとうございます

積分をすっかり忘れてしまって、なぜ、dxdy=rdθdrになるのか、理解す
るのに時間がかかってしまいました。(ヤコビアンにより求めるのですね)

(I_0)^2 = π/4ということは、I_0は±(√π)/2ということでしょうか。

ありがとうございました。

回答No.1

noname#56760

x * (e^(-x^2))
(e^(-x^2))’＝-2ｘ*e^(-x^2)
を使えばいけそうですが。

お礼

回答ありがとうございます

I_1
= ∫[0→∞]　x * (e^(-x^2))dx
= (-1/2)∫[0→∞] (-2) *　x * (e^(-x^2))dx
=(-1/2)[e^(-x^2)][0→∞]
=(-1/2)(1 - 0) = -1/2

でいいのでしょうか？

補足

> =(-1/2)[e^(-x^2)][0→∞]
> =(-1/2)(1 - 0) = -1/2

ではなく

=(-1/2)[e^(-x^2)][0→∞]
=(-1/2)(0 - 1) = 1/2

でした。これでいいのでしょうか。