数と式

質問

(7-√12)^2-(p^2+q)(7-√12)+p^2q-3=0

正の有理数p,qがこの等式を満たすとき、p,qの値を求めよ。

Pとqの処理に困ってます。
ヒントだけでも嬉しいです…

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

(7-√12)^2-(p^2+q)(7-√12)+p^2q-3=0

p^2q-(7-2√3)(p^2+q)+58-28√3=0

[p^2q-7(p^2+q)+58]+2√3(p^2+q-14)=0

p,qが有理数のときこの式が成り立つためには

p^2+q-14　　　(1)

p^2q-7(p^2+q)+58＝0　(2)

が共に成り立たなければならない

(1)を用いて(2)を整理すると

p^2q=40 (3)

p^2とqを解とする２次方程式は

t^2-14t+40=0 (4)

である。

因数分解して

(t-10)(t-4)=0

pが正の有理数になるために

p^2=4,q=10

すなわち

p=2,q=10

回答No.3

k14i12d

3を右辺へ持って行きます。すると、左辺が簡単に因数分解され、(p^2ー(7ー√12))(qー(7ー√12))=3となります。pqは有理数なので、左辺の√12は展開することでしか消せないわけです。つまり、左辺が(√12ー3)(√12+3)の形でないと、右辺は有理数(今回は整数)にならないわけです。というわけで、左辺の因数分解されたなかみの式が、p^2ー7=3∧qー7=ー3またはp^2ー7=ー3∧qー7=3という連立方程式に変わりました。これらのp、qの解のうち、有理数であるのは右側の連立方程式の解です。ちなみに記号∧はかつを意味します。2乗を表す記号とは別の記号です。
他にも解法はいくつか考えつきましたが、上記がもっとも楽だとおもいました。
また、上記が別の問題などでも通用する一般的な考え方なので、上記のみを載せました。

回答No.1

Tacosan

「Pとqの処理」ってどういうことだろう.

a, b が有理数で a+b√12 = 0 を満たすとき, a や b についてどのようなことがいえますか?