漸化式と極限の問題

質問

p,qは正の有理数で、√qは無理数であるとする。自然数nに対し、有理数An,Bnを(p+q)n乗=An+Bn√qによって定める。

(1)(p-√q)n乗＝An-Bn√qを示せ。

(2)An
　 ―　――→ √q を示せ。　
　 Bn　(n→∞)

出典：03大阪市大

この問題の解答を教えていただきたいです。
(1)は数学的帰納法を使えば解けるのは分かっているのですが、n=1がどう説明すれば成立を示せるのかが分からず、困っています。

よろしくお願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> 有理数An,Bnを(p+q)n乗=An+Bn√qによって定める。

これ成り立ちませんよね。
正しくは
(p + √q)n乗 = An + Bn√q
でしょうか？

> (1)は数学的帰納法を使えば解けるのは分かっているのですが、n=1がどう説明すれば成立を示せるのかが分からず、困っています。

(p + √q)n乗 = An + Bn√qにn = 1を代入してA1とB1を求め、
それを元に(p-√q)n乗＝An-Bn√qがn = 1で
成り立つ事を示せば良いのではないでしょうか？

(p + √q)n乗 = An + Bn√qにn = 1を代入すると
p + √q = A1 + B1√q
なので、左辺と右辺を見比べるとA1 = p, B1 = 1となります。

お礼

ありがとうございました！
もう一度自分で解き直ししてみます!!