任意の正の有理数Pについて、x^2+y^2=P…(A) を満たす有理数

質問

任意の正の有理数Pについて、x^2+y^2=P…(A) を満たす有理数x,yは必ず存在しますか?

似たような質問ばかりしてるのに応用力が無くすみません。
Pが有理数pを用いてP=p^2と表せる場合は
適当なピタゴラス数a,b,c(但しa^2+b^2=c^2)を用いて
x^2+y^2=p^2{(a/c)^2+(b/c)^2}となるので
x=ap/c,y=bp/cが(A)式を満たす有理数の組の1つと言えますが
P=p^2と表せない場合も、(A)式を満たすx,yは存在するのでしょうか?

更なる疑問としては、Pが無理数の場合も知りたいのですが…。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

x^2+y^2=PでP=3の場合を考えてみる。
x=s/t,y=u/vとしてsとtは互いに素，uとvは互いに素な整数とする。
(s/t)^2+(u/v)^2=3
(sv)^2+(ut)^2=3(tv)^2
となるが，右辺を素因数分解したとき3は奇数個ある。
左辺のそれぞれの項は3が偶数個だから両辺が等しくなるためには，それぞれの項を3で割ったあまりは1と2になっていなくてはならない。しかし整数の2乗を3で割ったあまり2になることはない。
以上によってx^2+y^2=3を満たす有理数x,yは存在しない。

Pが無理数の場合はもっと簡単です。
x,yが有理数なら，それから四則演算で得られるPは必ず有理数です。

お礼

平方数を3で割った余りは2…ありましたね!

有理数の方ばかり考えてしまっていて
「ゆくゆくは無理数を…」と思っていたのですが
無理数の方が簡単でしたね。

回答ありがとうございました。