ラグランジュの乗数法 関数の最大と最小

質問

条件；g(x,y)=x^2+y^2-1の下でf(x,y)=x^2+4xy-y^2の最大値と最小値の導出を教えてください。
計算途中で止まってしましました。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>条件；g(x,y)=x^2+y^2-1
これは条件になっていません。

次式の間違いではないですか？
「条件；g(x,y)=x^2+y^2-1=0」

そうであれば
F(x,y)=f(x,y)-tg(x,y)=x^2+4xy-y^2-t(x^2+y^2-1)

Fx=2x+4y-2tx=0
Fy=4x-2y-2ty=0
g(x,y)=0
を解いてf(x,y)が最大、最小になる候補点を求める。
t=-√5,x=√(50-10√5)/10,y=-√(50+10√5)/10,
t=-√5,x=-√(50-10√5)/10,y=√(50+10√5)/10,
t=√5,x=√(50+10√5)/10,y=√(50-10√5)/10,
t=√5,x=-√(50+10√5)/10,y=-√(50-10√5)/10

g(x,y)=x^2+y^2-1=0より|x|≦1,|y|≦1であるから
f(x,y)=x^2+4xy-y^2には上限と下限が存在する。

上で求めたf(x,y)の極大、極小となる候補点でのf(x,y)の最大のものが最大値、最小のものが最小値となる。

t=-√5のとき
　x=√(50-10√5)/10,y=-√(50+10√5)/10
および
　x=-√(50-10√5)/10,y=√(50+10√5)/10
の時、f(x,y)は最小値(極小値)=-√5をとる。

t=√5のとき
　x=√(50+10√5)/10,y=√(50-10√5)/10
および
　x=-√(50+10√5)/10,y=-√(50-10√5)/10
の時、f(x,y)は最大値(極大値)=√5をとる。

この様子をグラフに描いて添付しますので参考にして下さい。

補足

解答ありがとうございます。
t=-√5,x=√(50-10√5)/10,y=-√(50+10√5)/10,
t=-√5,x=-√(50-10√5)/10,y=√(50+10√5)/10,
t=√5,x=√(50+10√5)/10,y=√(50-10√5)/10,
t=√5,x=-√(50+10√5)/10,y=-√(50-10√5)/10
はどのように求めたのでしょうか？
解こうと思った時に
5x^4-5x^2+1=0などが出てきて解けませんでした。

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足の質問についての回答

>t=-√5,x=√(50-10√5)/10,y=-√(50+10√5)/10,
t=-√5,x=-√(50-10√5)/10,y=√(50+10√5)/10,
t=√5,x=√(50+10√5)/10,y=√(50-10√5)/10,
t=√5,x=-√(50+10√5)/10,y=-√(50-10√5)/10
はどのように求めたのでしょうか？

A#1にも書いてあるように
連立方程式
Fx=2x+4y-2tx=0
Fy=4x-2y-2ty=0
g(x,y)=x^2+y^2-1=0
を解いて求めただけです。

>解こうと思った時に
5x^4-5x^2+1=0などが出てきて解けませんでした。

2次方程式の解の公式を使えば解けると思います。
X=x^2についての2次方程式とみなせば
x^2=(5±√(25-20))/10=(5±√5)/10 (>0)
∴x=±√(5±√5)/√10=±√(50±10√5)/10
（複号は全ての組合せ)
などのように解けると思います。

お礼

ありがとうございました。
思いもつきませんでした。