解けなかった因数分解

質問

中2の娘の数学の宿題です。この4問が解けませんでした。お知恵をお借りできればと思います。
どれも、問題が間違っているように感じています。。。

1.　x^4 + 3 x^2 + 4
→x^2をAとおいて、判別式を計算するとD=9-16=-5<0なので、実数の範囲内では解けない？

2.　x^4 + 5 x^2 + 9
→x^2をAとおいて、判別式を計算するとD=25-36=-9<0なので、実数の範囲内では解けない？

3.　4 x^4 - 11 x^2 y^2 + 9 y^4
→4 A^2 - 11 A + 9 の判別式を計算するとD=121-144=-23<0なので
実数の範囲内では解けない？

4.　x^4 - 18 x^2 y^2 + y^4
→(x^2 - 9 y^2)^2 - 80 y^4
=(x^2 - 9 y^2 + 5 √4 y^2) (x^2 - 9 y^2 - 5 √4 y^2)
=(x^2 + (- 9 + 5 √4) y^2) (x^2 - (9 + 5 √4) y^2)

よろしくお願いします。

回答No.1

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは。

　　因数分解のときに判別式が使えるのは、２次式のときです。

　　（一次式に分解できるということが実数と関係する）

　　４次式の場合は、２次式の積に、因数分解が可能な場合、

　　あなたの使っている方法は使えません。一次式に分解できるとは限らないからです。

　　１、Ａ＾２－Ｂ＾２の形にします。

　　　　４次と定数項を見ると、（ｘ＾２＋２）＾２または（ｘ＾２－２）＾２が思い浮かびます。

　　　この式の場合は、前者を使うと

　　　x^4 + 3 x^2 + 4 ＝（x^2+2）^2-x2 　で　A^2-B~2　の形にできますので、

　　　　＝(ｘ＾２＋２＋ｘ）（ｘ＾２＋２－ｘ）

　　　　　字数の順に並べて

　　　＝（x^2+x+2）（x^2-x+2）　が解です。これ以上因数分解できない。（判別式を使えます）

　　　２、３、も同様です。

　　　２、x^4 + 5 x^2 + 9＝(x^2+3)^2-4x^2=(x^2+3+2x)(x^2+3-2x)=(x^2+2x+3)(x^2-2x+3) ここまで

　　　３．x^4 - 18 x^2 y^2 + y^4＝（x^4-2x^2y^2+y^4)-16x^2y^2

　　　　　＝（x^2-y^2）^2-(4xy)^2=(x^2+4xy-y^2)(x^2-4xy-y^2) ここまで

　　　　なお、因数分解は、何も断りがなければ、係数を有理数の範囲で行います。

お礼

ありがとうございます。大変よく分かりました。

回答No.5

Tacosan

#4 で指摘されていますが, 4 も同じですな＞#3... ってか, 「√4」て.

お礼

はい、解けました。ありがとうござました。

回答No.4

alice_44

この問題というか模範解答のシカケは、
中学数学では有名だから、覚えておくとよいです。
手品みたいなモンですけどね。

貴方の考察の難点は…
A2乗+3A+4=0 が実解 A を持たないということは、
単に、x4乗+3x2乗+4=0 の解 x が
二乗して実数にならない(実数でも純虚数でもない)
というだけで、実係数方程式の解にならないか
どうかは言えてない…ということ。

そもそも、実解を持たない二次方程式が、
実数でも純虚数でもない解を持つ実係数方程式の
例じゃあないですか。

お礼

はい、覚えておきます。ありがとうございました。

回答No.3

B-juggler

これはちょっと。お邪魔しておきます。

Ｎｏ．１さん、ちょっと勘違いをしてあるかも？

（ｘ＾４＋３ｘ＾２＋４）＝（ｘ＾２＋２）＾２　－　ｘ＾２

　　　　　　　　　　　　＝（ｘ＾２＋ｘ＋２）（ｘ＾２－ｘ＋２）

これは解ではないですよ。　因数分解の結果。

解は、与式＝０　のときの　ｘ　の値ね。

この場合は　（１）　（ｘ＾２＋ｘ＋２）＝０　かつ　（ｘ＾２－ｘ＋２）≠０
　　　　　　（２）　（ｘ＾２＋ｘ＋２）≠０　かつ　（ｘ＾２－ｘ＋２）＝０
　あまり関係ないか？
　どっちかが０でダイジョウブかな？
　　　同時に０とはなりえないから。

２．３．　は　これと同じでいいと思うけれど、４．問題があっているかどうか見てもらえませんか？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ありがとうございます。4も同じ方法で解けました。

回答No.2

banri_kashii

自分が解けないかrって、問題を間違い扱いするってどうなの？
そういう人間は子供に勉強を教えるべきではない。発想が韓国人レベルですな。

あと、全部同じパターンなので、教科書を熟読させましょう。
カンニングを疑われるかも。

お礼

失礼致しました。仰るとおりですね。