直線の動く範囲

質問

数学の宿題についてわからない点があります。

tが実数全体を動く時、直線ｌ:y=tx-t^2　の通る範囲を図示せよ。

という問題で、どうしてこれを変形して
t^2-xt+y=0 　このの判別式から　
x^2-4y≧0　
となるのでしょうか。（x、y）が動く範囲とtの動く範囲に何か関係があるのでしょうか？

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

「tが実数全体を動く」→「tが実数であるためには？」と読み替えることで理解できるかと思います。
最終的には、図示することが答えになりますが、
その手前には「tが実数であるための xとyに対する条件式を求める」という作業が必要です。この条件が「tの2次方程式が実数解を持つこと」になっています。

お礼

とてもわかりやすかったです。
ありがとうございます！

回答No.3

owata-www

（x、y）が動く範囲
と考えるとわかりにくければ
あるｘ＝ｘ0の時に取りうるｙの範囲は？

と考えれば分かりやすいかと思います

y=tx-t^2　にx=x0を代入して
y=tx0-t^2→t^2-xt+y=0 …(1)
です。

ここで、(1)の判別式がx^2-4y≧0を満たすyならば
t＝(x±√(x^2-4y))/2　（実数）
を定めることにより、値を取る事が可能です

逆に
x^2-4y＜0ならば(1)を満たす実数tは存在しないのでｙはその範囲の値を取る事ができません

お礼

大変参考になりました！
ありがとうございます。

回答No.2

f272

x^2-4y≧0を満たすような(x,y)に対してはtの2次方程式t^2-xt+y=0の実数解がある。そのようなx,y,tの組を考えると、(x,y)は直線t^2-xt+y=0つまりy=tx-t^2の上にある。
逆にx^2-4y<0であれば、tの2次方程式t^2-xt+y=0には実数解がない。つまり直線t^2-xt+y=0の式つまりy=tx-t^2をみたす実数tは存在しない。

お礼

納得しました！
ありがとうございました。