正則関数

質問

C：z(t)=e^(it) (0≦t≦2π）に対して
∫[C] z^k dzの解法を教えてください。

また∫[C] z^k |dz|の解き方も教えてください。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

留数定理を使うと、場合分けが却って面倒かもしれません。
被積分関数が簡単な式なので、直接積分するのが吉です。

z = e^(iθ) で置換すると、

∫[C]{ z^k }dz
= ∫[0≦θ≦2π]{ (e^(iθ))^k }(e^iθ)idθ
= ∫[0≦θ≦2π]{ ie^(i(k+1)θ) }dθ
より、

k≠-1 のとき
∫[C]{ z^k }dz = [ {e^(i(k+1)θ)}/(k+1) ]_{0≦θ≦2π}
= { e^(2πi(k+1)) - 1 }/(k+1).

k=-1 のとき
∫[C]{ z^k }dz = ∫[0≦θ≦2π]idθ
= 2πi.

k≠-1 で整数の場合に、積分の値は 0 になるが、
上記のように計算すれば、そこは場合分け不要。

回答No.1

info22_

kは実数ですか？であれば、正、負、ゼロなどの条件（制約）はありませんか？あるいは、正整数などの条件はありませんか？

でないと、回答者が場合分けしないといけなくなります。

なので、ヒントだけ。

C：z(t)=e^(it) (0≦t≦2π）
|z|=r=1,dr=0
dz=ie^(it) dt
|dz|=√{(dr)^2+(r^2)(dt)^2}=dt
であるから
kが正の実数であれば
∫[C] z^k dz=∫[0→2π] e^(ikt) ie^(it)dt
=i∫[0→2π] e^(i(k+1)t)dt
この先はkの条件により扱いが変わる。

∫[C] z^k |dz|=∫[0→2π] e^(ikt) dt
この先はkの条件により扱いが変わる。