電磁気数学の問題

質問

電磁気の数学の問題？
が良く分からなくて困ってます。
実は明日大学の期末テストがあって糞あせってますｗのでなにとぞ回答と解説お願いします。
次の積分を実行せよ。
線積分∫（ｚ＋i)dz , C : z=it^2 （０≦t≦1 ) （本当は∫の右下に小文字のｃがあります）
線積分∫（e^z/z^2+1)dz , C : |z+i|=1 （本当は∫の右下に小文字のｃがあります）

回答No.1

info222_

線積分∫_c（ｚ＋i)dz , C : z=it^2 （０≦t≦1 )
=∫[0→1] (it^2+i) i2t dt
=2(i^2)∫[0→1] (t^2+1)t dt
=-2∫[0→1] (t^3+t) dt
=-2[t^4/4 +t^2/2]∫[0→1]
=-2(1/4 +1/2)
=-3/2 ...(答)

線積分∫_c（e^z/(z^2+1))dz=Iとおく。
C : |z+i|=1
この積分路はz=-iを中心とする半径1の円周であるから
この円周内の被積分関数の特異点はz=-iのみ。
z=-iにおける被積分関数の留数Res(z=-i)を求めると
Res(z=-i)=lim(z→-i) (e^z)(z+i)/(z^2+1)
=lim(z→-i) (e^z)/(z-i)
=-e^(-i)/(2i)=(i/2)(cos(1)-isin(1))
留数定理より
I=2πi Res(z=-i)=-πcos(1)+πi sin(1) ...(答)