複素関数 留数定理

質問

∫[C] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz の計算
C : √2 * e^(iθ) (π/4 ≦θ≦5π/4)
f ( i ) = 1/3
また, ∫{f((i + 1)t)/(1 + 2it^2)) dt = π/6である. ・・・※
∫[C] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dzを求める過程を教えて下さい.

-1-iから1+iに至る直線Ct: (i + 1)t (-1 ≦ t≦ 1)を
考え, ∫[C + Ct] = 2πi Res{f , i} だと考えたのですが,
ここから先が分かりません. ※の(i + 1)t が同じなので, それをうまく
利用するというのは分かるのですが, どのように使うのかが分かりません
よろしくお願いします.
z = i が1位なのか2位なのかという点も教えて下さい.

回答No.1

info222_

I=∫[C] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz
=∫[C] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz+∫[Ct] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz
-∫[Ct] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz
=∫[C+Ct] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz-∫[Ct] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz
=I1-I2

I2=∫[Ct] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz
Ct上では z=(1+i)t (t=-1→1) なので

>∫{f((i + 1)t)/(1 + 2it^2)) dt = π/6である. ・・・※
これが「∫[-1→1]{f((i + 1)t)/(1 + 2it^2)) dt = π/6である. ・・・※」
の間違いであるなら

I2=∫[-1→1] {f ((1+i)t) / ( 1+((1+i)t)^2 )} (i+1)dt
=(1+i)∫[-1→1] {f ((1+i)t) / ( 1+2it^2 )} dt
=(1+i)π/6

I1=∫[C+Ct] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz
問題に書いてないですが、閉路[C+Ct]の経路上と内部でf(z)が正則であることが必要です。
この条件を書き忘れていませんか？
この条件が満たされているとして進めます。
f (z) / ( 1 + z^2 )の閉路[C+Ct]上および内部の一位の特異点は内部のz=i のみであるから
Res(z=i)=lim(z→i) f(z)(z-i)/(1+z^2)
=lim(z→i) f(z)/(z+i)=f(i)/(2i)=(1/3)/(2i)=1/(6i)
したがって留数定理より
I1=2πi*Res(z=i)=2π/6=π/3

以上より
I=I1-I2=(π/3)-(1+i)π/6=(1-i)π/6 ...(答)