正則関数

質問

∫{C] (z^2+iz-1)dz C:z(t)=2e^(it) 　(0≦ｔ≦π）

の解法を教えてください。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

No.1,No.2です。

ANo.1-2の別解です。

C:z(t)=2e^(it) 　(0≦ｔ≦π）より
始点z=2,終点z=-2

(z^2+iz-1)は正則関数であるから、積分値は積分路Cの始点と終点が同じなら、経路によらないので
積分路CをD：z=x+i0 (x=2→-2)に変更すると
∫{C] (z^2+iz-1)dz=∫[D](z^2+iz-1)dz
=∫[2→-2](x^2+ix-1)dx
=-∫[-2→2](x^2+ix-1)dx
=-∫[-2→2](x^2-1)dx-i∫[-2→2] xdx
対称区間での偶関数と奇関数の積分だから
=-2∫[0→2](x^2-1)dx
=-2[x^3/3 -x][0→2]
=-2{(8/3)-2}
=-4/3

回答No.2

info22_

No.1です。

ANo.1で計算ミスがありましたので訂正します。

>∫{C] (z^2+iz-1)dz C:z(t)=2e^(it) 　(0≦ｔ≦π）
>=∫[0→π] {4e^(i2t) +i2e^(it) -1} 2ie^(it) dt
>=2i∫[0→π] {4e^(i3t) +i2e^(i2t) -e^(it)} dt
>オイラーの公式を用いて
>=8i∫[0→π]{cos(3t)+isin(3t)}dt-4∫[0→π]{cos(2t)+isin(2t)}dt
-2i∫[0→π]{cos(t)+isin(t)}dt
>=2i∫[0→π]{4cos(3t)-2sin(2t)-cos(t)}dt
+2∫[0→π]{-4sin(3t)-2cos(2t)+sin(t)}dt
>=2i[(4/3)sin(3t)+cos(2t)-sin(t)][0→π]
+2[(4/3)cos(3t)-sin(2t)-cos(t)][0→π]
>=2i{-1-1}+2{-(4/3)-(4/3)+1+1} ←×
正:=2i{1-1}+2{-(4/3)-(4/3)+1+1}
>=-4i-(4/3) ←×
>=-4(1+3i)/3 ←×
正：=-4/3 　　←(答え)

回答No.1

info22_

∫{C] (z^2+iz-1)dz C:z(t)=2e^(it) 　(0≦ｔ≦π）
=∫[0→π] {4e^(i2t) +i2e^(it) -1} 2ie^(it) dt
=2i∫[0→π] {4e^(i3t) +i2e^(i2t) -e^(it)} dt
オイラーの公式を用いて
=8i∫[0→π]{cos(3t)+isin(3t)}dt-4∫[0→π]{cos(2t)+isin(2t)}dt
-2i∫[0→π]{cos(t)+isin(t)}dt
=2i∫[0→π]{4cos(3t)-2sin(2t)-cos(t)}dt
+2∫[0→π]{-4sin(3t)-2cos(2t)+sin(t)}dt
=2i[(4/3)sin(3t)+cos(2t)-sin(t)][0→π]
+2[(4/3)cos(3t)-sin(2t)-cos(t)][0→π]
=2i{-1-1}+2{-(4/3)-(4/3)+1+1}
=-4i-(4/3)
=-4(1+3i)/3　　←(答え)