複素関数の積分

質問

∫(z^2-5*z+1)/(z-1)dzのC(-i～i)までの線分に沿った積分を解こうとしています。どなたか解法をご教授願います。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足質問について

>z^2の項の係数が2でしたので、被積分関数は、(2*z^2-5*z+1)/(z-1)でした。解答はi*(π-6)なのですが、

『問題の修正に合わせて回答も修正』

積分経路C上では
　z=x+iy=iy=it(t=-1～1)
dz=idt
∫_C (2z^2-5*z+1)/(z-1)dz
=∫_C {2z-3-(2/(z-1))}dz
=∫[-1,1] {2it-3-(2/(it-1))} idt
=∫[-1,1] {-2t-3i-(2/(t+i))}dt
=∫[-1,1] {-2t-3i-2((t-i)/(t^2+1))}dt
=∫[-1,1] {-2t-(2t/(t^2+1))-i(3-(2/(t^2+1)))}dt
=∫[-1,1] {-2t-(2t/(t^2+1))}dt-i∫[-1,1] {3-(2/(t^2+1))}dt
第1項は奇関数の対称区間での積分なので=0であり
、
第2項は偶感数の対称区間での積分であることから
=-6i+2i∫[0,1] {2/(t^2+1)}dt
公式∫dt/(t^2+1)=arctan(t)+Cを用いて
=-6i+4i*[arctan(t)][0,1]
=-6i+4i*arctan(1)
=-6i+4i(π/4)
=i(π-6)

となり解答と一致します。

お礼

2度にわたるご説明、ご面倒おかけしました。よくわかりました。どうも有り難うございます。

回答No.1

info22_

積分経路C上では
　z=x+iy=iy=it(t=-1～1)
dz=idt
∫_C (z^2-5*z+1)/(z-1)dz
=∫_C {z-4-(3/(z-1))}dz
=∫[-1,1] {it-4-(3/(it-1))} idt
=∫[-1,1] {-t-4i-(3/(t+i))}dt
=∫[-1,1] {-t-4i-3((t-i)/(t^2+1))}dt
=∫[-1,1] {-t-(3t/(t^2+1))-i(4+(3/(t^2+1)))}dt
=∫[-1,1] {-t-(3t/(t^2+1))}dt-i∫[-1,1] {4+(3/(t^2+1))}dt
第1項は奇関数の対称区間での積分なので=0であり、
第2項は偶感数の対称区間での積分であることから
=-8i-2i∫[0,1] {3/(t^2+1)}dt
公式∫dt/(t^2+1)=arctan(t)+Cを用いて
=-8i-6i*[arctan(t)][0,1]
=-8i-6i*arctan(1)

途中計算は自分でチェックして正しいか確認してみてください。

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/050cmp.html

お礼

早速のご回答どうも有り難うございます。
済みませんが関数が間違えておりました。z^2の項の係数が2でしたので、被積分関数は、(2*z^2-5*z+1)/(z-1)でした。解答はi*(π-6)なのですが、ご教授頂いた方法でたどり着けませんでした。それはともかく本当に有難うございます。

補足

早速のご回答どうも有り難うございます。
済みませんが関数が間違えておりました。z^2の項の係数が2でしたので、被積分関数は、(2*z^2-5*z+1)/(z-1)でした。解答はi*(π-6)なのですが、ご教授頂いた方法でたどり着けませんでした。